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Examen Algèbre / Analyse | Base canonique – Calcul intégrale

Thèmes

:

Exercice 1: Forme quadratique / Base canonique / Matrice / Rang / Signature
Exercice 2: Intégrale / Fonction continue / Fonction dérivable / Limite / Convergence
Exercice 3: Ouvert : Fermé / Dérivées partielles / Fonction différentiable

Extrait :

Examen Algèbre / Analyse | Base canonique – Calcul intégrale

EXERCICE 1

Soit f une fonction numérique de classe C¹ dans ℝ². On considère l’application ( \Phi de ℝ²
Vers ℝ² donnée par

\Phi (x,y) = (f(x,y), 2xy) pour tout (x,y) de ℝ²
1. Ecrire la matrice jacobienne J \Phi (x, y) de l’application \Phi au point (x, y) de ℝ².

2. Déterminer toutes les fonctions f telles que la matrice J \Phi (x, y) soit, en tout point (x, y) de ℝ², de la forme

\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix}

où α et β sont des coefficients réels (dépendant de x et y)

3. On choisit une fonction f satisfaisant aux exigences de la question 2. Déterminer
l’ensemble des points (x,y) de ℝ² pour lesquels la différentielle de \Phi en (x,y) est une
rotation vectorielle.

EXERCICE 2
Soient a un nombre réel et { Q }_{ a } l’application qui a tout point x = (x₁, x₂, x₃) de ℝ³ associe
{ Q }_{ a }(x)={ x }_{ 1 }^{ 2 }+2{ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }+a{ x }_{ 2 }{ x }_{ 3 }
1. Montrer que { Q }_{ a } est une forme quadratique sur ℝ³ et donner sa forme polaire.

2. Déterminer, selon la valeur du paramètre a, le rang et la signature de { Q }_{ a }.

3. Trouver une base de ℝ³ orthogonale pour { Q }_{ a }.
PROBLÈME

Soient f une fonction continue sur [0, 1] et α un réel, avec α > 0. On suppose qu’il existe
une constante A ≥ 0 telle que l’on ait

(C) \left| f(t) \right| \le A{ t }^{ \alpha } pour tout t de [0,1].

On pose alors, pour x ∈ [0, +∞[,

F(x)=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { f(t) }{ t+x } } dt
1. Montrer que l’intégrale ci—dessus existe pour tout x de [0, +∞[.

2. Montrer que la fonction F est Continue sur [0,+∞[.

3. (a) Montrer que la fonction F est dérivable sur ]0, +∞[ et, pour m dans cet intervalle,
exprimer F′(x) sous forme d’une intégrale.

(b) Pour x > 0, calculer explicitement F lorsque f (t) = \sqrt { t } et en déduire la Valeur
de l’intégrale \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { \sqrt { t } }{ (t+x{ ) }^{ 2 } } }

4. (a) Montrer que si on suppose α > 1, alors F est aussi dérivable à droite en 0
exprimer F′(0) sous forme d’une intégrale.

(b) On considère l’exemple f(t) = t. Que vaut F(0) ? Calculer ensuite F(x) explicitement pour x > 0. En déduire que dans le cas α ≤ 1, il peut arriver que la fonction F ne soit pas dérivable a droite en 0.

5. Dans toute Cette question on suppose α > 1/2.
(a) Montrer qu’on a alors, pour tout réel y > 0,
(b) En déduire l’inégalité
pour tous x et y de [0,+∞[
On pourra remarquer qu’il suffit de le démontrer avec x Aperçu:

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