Algèbre Linéaire Exercices

Exercices Algèbre – Déterminants + Correction | Matrice Carrée – Matrice commutative

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Thèmes :

16 Exercices: Déterminant / Matrice carrée / Nombre complexe / Déterminant de Vandermonde / Déterminant de Cauchy / Résolution de système / Déterminant circulant / Matrices commutatives / Matrice inversible / Polynôme caractéristique

Extrait :

Exercices Algèbre – Déterminants + Correction | Matrice Carrée – Matrice commutative

Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile
I : Incontournable
Exercice 1 **
Soient A= ({ a }_{ i },j) 1\le i\le n une matrice carrée et B= ({ b }_{ i },j) 1\le i\le n{ b }_{ i,j }=(-1{ ) }^{ 1+{ j }_{ ai,j } } Calculer det(B) en fonction
de det(A).

Exercice 2 ***I
On définit par blocs une matrice A par A = \begin{pmatrix} B & D \\ 0 & C \end{pmatrix}
où A, B et C sont des matrices carrées de formats
respectifs n, p et q avec p+q = n. Montrer que det(A) = det(B)Xdet(C).

Exercice 3 ***I Déterminants de VANDERMONDE
Soient { x }_{ 0 },{ x }_{ 1 },...{ x }_{ n-1 }n nombres complexes. Calculer Van({ x }_{ 0 },...{ x }_{ n-1 }) = det({ x }_{ j-1 }^{ i-1 })
1\le i\le n

Exercice 4 ****I Déterminant de CAUCHY
Soient { a }_{ 1 },{ ...,a }_{ n }{ b }_{ 1 },...,{ b }_{ n }{ 2 }n nombres complexes tels que toutes les sommes ##{ a }_{ i }+{ b }_{ j }$ 1\le i,j\le n, soient non
nulles. Calculer { C }_{ n }=det(\frac { 1 }{ { a }_{ i }+{ b }_{ j } } { ) }_{ 1\le i,j\le n }
. Cas particulier : (déterminant de HILBERT).

Exercice 5 **
Résoudre le système MX = U où M = ({ j }^{ i-1 })1\le i,j\le n \in { M }_{ n }(ℝ) et X est un vecteur
colonne inconnu.

Exercice 6 **
Calculer det(sin(ai+aj))1\le i,j\le n{ a }_{ 1 },...,{ a }_{ n } sont n réels donnés (n > 2).

Exercice 7 **
Calculer det(ai+bj) 1\le i,j\le n où a1,…,an, b1,. . . ,bn sont 2n complexes donnés.

Exercice 8 **
Calculer det ((a+i+j{ ) }^{ 2 }) 1\le i,j\le n où a est un complexe donné.

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Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants
des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des
enseignants du supérieur.

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