Algèbre Linéaire Exercices

Exercices Algèbre – Réduction des endomorphismes + Correction – Niveau L2

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Thèmes :

37 Exercices: Puissance d’une matrice, Polynôme caractéristique, Matrice diagonalisable, Noyau, Endomorphisme, Valeurs propres, Image, Espace vectoriel, Nilpotent, Matrice Carrée, Vecteurs propres, Déterminant, Trace, Matrice antisymétrique, Injectivité, Surjectivité, Matrice trigonalisable, Base canonique

Extrait :

Exercices Algèbre – Réduction des endomorphismes + Correction – Niveau L2

Réduction
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.math-france.fr
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1 **
Soit A = Pour n entier relatif donné, calculer { A }_{ n } par trois méthodes différentes.
Exercice 2 **
Résoudre dans M3(R) l’équation { x }^{ 2 } = A où A
Exercice 3 **
1. Vérifier que A n’est pas diagonalisable.
2. Déterminer Ker (A-1{ ) }^{ 2 }
3. Montrer que A est semblable à une matrice de la forme.
4. Calculer { A }^{ n } pour n entier naturel donné.
Exercice 4 ***
Soit f qui à P élément de associe f (P) = ({ X }^{ 2 }-1){ P }^{ ' }-2nXP
Vérifier que f est un endomorphisme de { ℝ }_{ 2n }$ [X] puis déterminer les valeurs et vecteurs propres de f.f est-il diagonalisable?
Exercice 5 ***
Soit E = . Pour P élément de E, soit f(P) le reste de la division euclidienne de AP par B où A = { X }^{ 4 }-1 et B = { X }^{ 4 }-X
Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f, Im f et les valeurs et vecteurs propres de f
Exercice 6 ***
Soit
A une matrice rectangulaire de format (p,q) et B une matrice de format (q,p). Comparer les polynômescaractéristiques de AB et BA.
Exercice 7 *** I
Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que u et v commutentet que v est nilpotent.Montrer que det (u+v) = detu
Exercice 8 ****
Soit A une matrice carrée de format n.Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀K ∈ ,
Tr ({ A }^{ k }) = 0
Exercice 9 *** I
Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg−gf = f. Montrerque f est nilpotent.

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Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants
des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des
enseignants du supérieur.

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