Exercices Séries - Intégrations

Exercices Analyse – Séries + Correction | Convergence – Developpement limité

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Thèmes :

25 exercices: Série / Nature d’une série / Convergence / Suite décroissante / Terme générale / Injection / Divergence / Développement limité / Somme

Extrait :

Exercices Analyse – Séries + Correction | Convergence – Developpement limité

Séries
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.france-maths.fr
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile
I : Incontournable
Exercice 1
Nature de la série de terme général
1 (*)\quad ln(\frac { { n }^{ 2 }+n+1 }{ { n }^{ 2 }+n-1 } ) 2 (*)\frac { 1 }{ n+(-1{ ) }^{ n }\sqrt { n }  } 3 (**)(\frac { n+3 }{ 2n+1 } { ) }^{ 1n } 4 (**)\frac { 1 }{ ln(n)ln(chn) } 5 (**)Arccos\sqrt [ 3 ]{ 1-\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }  } 6 (*)\frac { { n }^{ 2 } }{ (n-1)! } 7) (cos\frac { 1 }{ \sqrt { n }  } { ) }^{ n }-\frac { 1 }{ \sqrt { e }  } 8) (**)ln(\frac { 2 }{ \pi  } Arctan\frac { { n }^{ 2 }+1 }{ n } ) 9) (*)\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \frac { { cos }^{ 2 }x }{ { n }^{ 2 }+{ cos }^{ 2 }x }  } dx 10) (**){ n }^{ -\sqrt { 2sin }  }(\frac { \pi  }{ 4 } +\frac { 1 }{ n } ) 11) (**)e-(1+\frac { 1 }{ n } { ) }^{ n }
Exercice 2
Nature de la série de terme général
1) (***)\sqrt [ 4 ]{ { n }^{ 4 } } +2{ n }^{ 2 }-\sqrt [ 3 ]{ P(n) } où P est un polynôme 2) (**)\frac { 1 }{ { n }^{ a } } S(n) ou S(n)= \sum _{ p-2 }^{ +\infty  }{ \frac { 1 }{ Pn }  }
3) (**){ U }_{ n } ou ∀n ∈ { u }_{ n }=\frac { 1 }{ n } { e }^{ -Un-1 }
4) (****){ U }_{ n }=\frac { 1 }{ Pn } ou Pn est n-eme nombre premier
(indication : considérer \sum _{ n-1 }^{ N }{ ln(\frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ Pn }  }  } )=\sum _{ n-1 }^{ N }{ ln(1+Pn+{ P }_{ n }^{ 2 } } +...)
5) (***){ U }_{ n }=\frac { 1 }{ n({ e }^{ (n) }{ ) }^{ a } } ou c(n) est le nombre de chiffres de n en base 10.
6) (*)\frac { ({ \Pi  }_{ k=2 }^{ n }lnK{ ) }^{ a } }{ (n!{ ) }^{ b } } a > 0 et b > 0
7) (**)Arctan((1+\frac { 1 }{ n } { ) }^{ a })-Arctan((1-\frac { 1 }{ n } { ) }^{ a })
8) (**)\frac { 1 }{ { n }^{ a } } \sum _{ k-1 }^{ n }{ { k }^{ 3/2 } }
9) (***)({ \Pi  }_{ k-1 }^{ n }(1+\frac { K }{ { n }^{ a } } ))-1
Exercice 3
Nature de la série de terme général
1) (***)sin(\frac { \Pi { n }^{ 2 } }{ n+1 } ) 2) (**)\frac { (-1{ ) }^{ n } }{ n+(-1{ ) }^{ n-1 } } 3) (**)ln(1+\frac { (-1{ ) }^{ n } }{ \sqrt { n }  } )
4) (***)\frac { { e }^{ 1n\alpha  } }{ n }, \frac { cos(n\alpha ) }{ n } et \frac { sin(n\alpha ) }{ n }
5) (**)(-1{ ) }^{ n }\frac { ln }{ n }
(-1{ ) }^{ n }\frac { P(n) }{ Q(n) } où P et Q sont deux polynômes non nuls
7) (-1{ ) }^{ n }\frac { P(n) }{ Q(n) } p entier naturel non nul.
Exercice 4
Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.
1) (**)\sum _{ n-0 }^{ +\infty  }{ \frac { n+1 }{ { 3 }^{ n } }  }
2) (**)\sum _{ n-3 }^{ +\infty  }{ \frac { 2n-1 }{ { n }^{ 3 }-4n }  }
3) (***)\sum _{ n-0 }^{ +\infty  }{ \frac { 1 }{ (3n)! }  }
5) (**)\sum _{ n-2 }^{ +\infty  }{ ln(1+\frac { (-1{ ) }^{ n } }{ n }  } )
Exercice 5
Soit { U }_{ n } n ℕ une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme général { U }_{ n } converge. Montrer que Trouver un exemple de suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général converge mais telle que la suite de terme général { U }_{ n } ne tende pas vers 0.
Exercice 6
Soit σ une injection de N∗ dans lui-même. Montrer que la série de terme général σ (n)n2 diverge
Exercice 7
Soit (Un)n∈N une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux. sont de mêmes natures.
Exercice 8
Trouver un développement limité à l’ordre 4 quand n tend vers l’infini de (e-\sum _{ k-0 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k! }  } )X(n+1)!

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Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants
des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des
enseignants du supérieur.

Fiche exercices mathématiques licence

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