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Exercices Analyse – Propriétés de R + Correction | Borne supérieure – Majorant

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Thèmes :

Partie 1 – ( 4 exercices ): Rationnel / Irrationnel
Partie 2 – ( 5 exercices ): Maximum / Minimum / Borne supérieure / Majorant / Minorant / Sup / Inf
Partie 3 – ( 1 exercice ): Fonction f(x+y)=f(x)+f(y)

Extrait :

Exercices Analyse – Propriétés de R + Correction | Borne supérieure – Majorant

1 Les rationnels ℚ
Exercice 1
1. Démontrer que si r ∈ ℚ et x ∉ ℚ alors r+x ∉ ℚ et si r ≠ 0 alors r.x ∉ ℚ.
2. Montrer que
\sqrt { 2 } ∉ ℚ,
3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel.
Indication H
Exercice 2
Montrer que \frac { ln3 }{ ln2 } est irrationnel.
Indication H
Exercice 3
1. Soit = 0,19971997…1997(n fois). Mettre sous la forme p
q avec p,q ∈ .
2. Soit M = 0;199719971997…… Donner le rationnel dont l’écriture décimale est M.
3. Même question avec. P=0,11111…+0,22222…+0,33333…+0,44444…+0,55555…+0,66666…+
0,77777…+0,88888…+0,99999…
Indication H
Exercice 4
Soit p(x)=\sum _{ i=0 }^{ n }{ { a }_{ i } } .{ x }^{ i }. On suppose que tous les ai sont des entiers.
1. Montrer que si p a une racine rationnelle \frac { \alpha }{ \beta }
alors \alpha divise { a }_{ 0 } et \beta divise { a }_{ n }.
2. On considère le nombre \sqrt { 2 } +\sqrt { 3 }
3. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d’un polynôme
de degré 2. En déduire, à l’aide du résultat précédent qu’il n’est pas rationnel.
Indication H
2 Maximum, minimum, borne supérieure…
Exercice 5
Le maximum de deux nombres x,y (c’est-à-dire le plus grand des deux) est noté max(x,y). De même on notera
min(x,y) le plus petit des deux nombres x;y. Démontrer que :
max(x,y)=\frac { x+y+|x-y| }{ 2 }
et min(x,y)=\frac { x+y-|x-y| }{ 2 }
Trouver une formule pour max(x,y,z).
Indication H
Exercice 6
Déterminer la borne supérieure et inférieure (si elles existent) de en posant { u }_{ n }={ 2 }^{ n } si n est
pair et { u }_{ n }={ 2 }^{ -n } sinon.
Indication H
Exercice 7
Déterminer (s’ils existent). les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand
élément, le plus petit élément des ensembles suivants :
[0,1]∩Q , ]0,1[∩Q , ℕ,

Exercice 8
Soient A et B deux parties bornées de ℝ. On note A+B = {a+b|(a,b) ∈ A×B}.
1. Montrer que supA+supB est un majorant de A+B.
2. Montrer que sup(A+B) = supA+supB.
Indication H
Exercice 9
Soit A et B deux parties bornées de ℝ. Vrai ou faux ?
1. A ⊂ B => supA \le supB,
2. A ⊂ B => infA \le infB,
3. sup(A∪B) = max(supA,supB),
4. sup(A+B) < supA+supB, 5. ...

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Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants
des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des
enseignants du supérieur.

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