Examen Algèbre Linéaire | Déterminant - Espace vectoriel

Thèmes :

Exercice 1: Théorème de Fermat
Exercice 2: Matrices / Base canonique
Exercice 3: Groupe commutatif / Transformation géométrique
Exercice 4: Espace vectoriel / Endomorphisme / Projecteur / Image / Noyau /
Exercice 5: Déterminant / Puissance d’une matrice
Exercice 6: Théorème de Wilson

Extrait :

Examen Algèbre Linéaire | Déterminant – Espace vectoriel

I) Énoncer le théorème de Fernat
2) Etudier la divisibilité de 27° + 37° par 13
II)Déterminer la matrices sur la base canonique sur le plan vectoriel p = R², de
l’application identique ${ Id }_{ p }:P\ni M\mapsto M\in P$
la symétrie par rapport à:l’origine,
l’axe horizontale,
l’axe vertiale
II)1)Montrer que,si un groupe G,d’élément neutre e,vérifier pour tout g ? G,g * g = e alors il commutatif
2) Expliciter un groupe T de quatre transformation géométrique du plan vectoriel P, vérifier pour tout f ? T,f o f = ${ Id }_{ T }$
IV) un projecteur de l’espace vectoriel E est un endomorphisme p de E tel que p o p = p Montrer que 1)p est un projecteur si et seulement si, ${ Id }_{ E }$ – p est un projecteur
2)si p est un projecteur, alors a) ker p = Im( ${ Id }_{ E }$ – p)
b) Im p = Ker( ${ Id }_{ E }$ – p),
c) E = Ker p ⊕ Im p.
d) Etant donné un endomorphisme $f:E\rightarrow E$ , f et p commutent si, si et seulement si, Ker p et Im p sont stables par f :
$f\o p=p\o f\Leftrightarrow \ll f(Kerp)\subset Ker\quad p\quad et\quad f(Im\quad p)\subset Im\quad p\gg$
v) Calculer $\left| \begin{matrix} +1 & +1 & +1 & +1 \\ +1 & -1 & +i & -i \\ +1 & +1 & -1 & -1 \\ +1 & -1 & -i & +i \end{matrix} \right| \in$ ℂ,
$\left| \begin{matrix} i & i-1 & i+1 & 2i \\ 1 & i+1 & i & 3i+1 \\ 2 & 3-i & 0 & 1-i \\ i+1 & 2 & i-1 & 1 \end{matrix} \right| \in$ ℂ,
pour tout n ∈ ℤ
VI) 1) On considère un nombre premier p ∈ ℕ, on note $\bar { n }$ la classe de n ∈ ℤ dans ℤ / pℤ, G le groupe multiplicatif(ℤ/pℤ)*, et, pour tout n ∈ ]0,p[,I(n) l’ensemble $\left\{ \bar { n } ,{ \bar { n } }^{ -1 } \right\} \subset$ G.
a) Déterminer, suivant la valeur de n ∈ ]0,p[,le nombre d’élément de I(n).
b) Montrer que, étant donné (m,n) ∈ ]0,p[²,I(m) et I(n) égaux ou disjoints.
2) Montrer le théorème de Wilson:
p est premier si,et seulement si,(p-1)!≡-1[p]