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Partiel Analyse + Correction | Intégrales convergentes – Intégrales généralisées

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Thèmes :

Exercice 1: Nature des intégrales
Exercice 2: Intégrale convergente / Changement de variable
Exercice 3: Intégrale convergente
Exercice 4: Classe C1 / Limite de fonction
Exercice 5: Intégrale convergente / Changement de variable

Extrait :

Partiel Analyse + Correction | Intégrales convergentes – Intégrales généralisées

Exercice 1. Déterminer la nature des intégrales suivantes :
Exercice 2. Montrer que l’intégrale suivante est convergente :
(Indication : on pourra par exemple effectuer le changement de variables x = t2)
Exercice 3. Pour n 2 N on note
1. Pour quels n 2 N l’intégrale In est-elle convergente ?
2. Étudier la convergence de la suite (In).
Exercice 4. Pour x 2 R on note f(x) =
1. Montrer que l’intégrale f(x) est bien définie pour tout x 2 R.
2. Montrer que la fonction f est de classe C1 sur R et donner une expression de f0.
3. Calculer f(0) et f0(0).
4. Montrer que f(x)
Exercice 5. On considère l’intégrale I =
1. Montrer que l’intégrale I est convergente.
2. Soit ” > 0. Montrer que
(indication : on pourra utiliser un changement de variables x = 2t)
3. Montrer que Z 2″
4. En déduire la valeur de I.

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