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Exercices Analyse + Correction – Extremums locaux / Gradient / Fonctions implicites | Classe C1 – Extremum relatif

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Thèmes :

Exercice 1: Point critique
Exercice 2: Point critique / Minima locaux / Maxima locaux / Point selle
Exercice 3: Extremum relatif / Voisinage / Point critique / Maxima locaux / Fonction périodique
Exercice 4: Equation du plan tangent
Exercice 5: Théorème des fonctions implicites
Exercice 6: Point stationnaire / Point isolé / Théorème des fonctions implicites / Classe C1

Extrait :

Exercices Analyse + Correction – Extremums locaux / Gradient / Fonctions implicites | Classe C1 – Extremum relatif

Exercice 1
Pour chacune des fonctions suivantes étudier la nature du point critique donné :
1. f(x,y)={ x }^{ 2 }-xy+{ y }^{ 2 } au point critique (0;0) ;
2. f(x,y)={ x }^{ 2 }+2xy+{ y }^{ 2 }+6 au point critique (0;0) ;
3. f(x,y)={ x }^{ 3 }+2x{ y }^{ 2 }+{ y }^{ 4 }+{ x }^{ 2 }+3y+{ y }^{ 2 }+10 au point critique (0;0).
Indication H
Exercice 2
Trouver les points critiques de la fonction f suivante et déterminer si ce sont des minima locaux, des maxima
locaux ou des points selle.
f(x,y)=sinx+{ y }^{ 2 }-2y+1
Indication H
Exercice 3
1. Soit f une fonction réelle d’une variable réelle de classe { C }^{ 2 } dans un voisinage de 0 \in ℝ telle que f (0)=0
et f'(0) \neq 0. Montrer que la fonction réelle F des deux variables x et y définie dans un voisinage de (0,0)
par F(x,y) = f(x)f(y) n’a pas d’extremum relatif en (0,0). Est-ce que le point (0,0) est quand même
critique ? Si oui caractériser sa nature.
2. Déterminer les points critiques, puis les minima et les maxima locaux de
f(x,y)=sin(2\pi x)sin(2\pi y)
Remarque : en utilisant la périodicité de la fonction, on peut limiter le nombre de cas à étudier.
Indication H
Exercice 4
Déterminer l’équation du plan tangent à la surface de niveau
sin(\pi xy)sin(\pi yz) = 1
au point de coordonnées (1,\frac { 1 }{ 6 } ,1). Identifier, en ce point, un vecteur perpendiculaire à la surface. Votre résultat
est-il compatible avec la figure ci-dessous ? Expliquer.
Indication H
Exercice 5
Soit C la courbe plane d’équation f(x,y)=y{ e }^{ x }+{ e }^{ y }sin(2x)=0.
1. Appliquer le théorème des fonctions implicites à la courbe C au point (0,0).
2. Déterminer la limite de y=x quand (x,y) tend le long la courbe C vers (0,0).
Indication H
Exercice 6
1. Déterminer les points stationnaires de la fonction f de deux variables définie par f(x,y)=x(x+1{ ) }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }
et préciser la nature de chacun d’eux.
2. Tracer la courbe constituée des points tels que f(x,y) = 0 et x\ge 0. (Indication : Étudier la fonction
x\longmapsto \sqrt { x } (x+1)

3. Montrer que le point (-1,0) est un point isolé de la partie
du plan, c’est-à-dire, le point (-1,0) appartient à cette partie et il existe un nombre réel ε > 0 tel que
De où De est le disque ouvert centré …

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Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants
des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des
enseignants du supérieur.

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