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Exercices Analyse – Équations différentielles + Correction | Equation différentielle homogène associée – Solution particulière

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Thèmes :

Partie 1 – ( 10 exercices ): Équation différentielle / Solution particulière / Résolution d’équation différentielle / Équation différentielle homogène associée / Équation différentielle homogène /

Extrait :

Exercices Analyse – Équations différentielles + Correction | Equation différentielle homogène associée – Solution particulière

Equations différentielles
Exercice 1
On se propose d’intégrer sur l’intervalle le plus grand possible contenu dans ]0,∞[ l’équation différentielle :
E(x)= { y }^{ ' }(x)-\frac { y\left( x \right)  }{ x } -y(x{ ) }^{ 2 }=-9{ x }^{ 2 }
1. Déterminer a ∈ ]0,∞[ tel que y(x) = ax soit une solution particulière { y }_{ 0 } de (E).
2. Montrer que le changement de fonction inconnue:y(x) = { y }_{ 0 } (x)− \frac { 1 }{ z\left( x \right)} transforme l’équation(E) en l’équation différentielle { z }^{ ' }(x)+(6x+\frac { 1 }{ x } )z(x)=1
3. Intégrer (E1) sur ]0,∞[.
4. Donner toutes les solutions de(E) définies sur ]0,∞[.
Exercice 2
Résoudre l’équation suivante : { y }^{ '' }-3{ y }^{ ' }+2y={ e }^{ x }
Exercice 3
Résoudre l’équation suivante : { y }^{ '' }-y=-6\cos { x+2x\sin { x }}
Exercice 4
Résoudre l’équation suivante : 4{ y }^{ '' }+4{ y }^{ ' }+5y=\sin { x{ e }^{ -x/2 }}
Exercice 5
On considère l’équation :
{ y }^{ '' }+2{ y }^{ ' }+4y=x{ e }^{ x } (E)
1. Résoudre l’équation différentielle homogène associée à(E).
2. Trouver une solution particulière de (E) (expliquer votre démarche), puis donner l’ensemble de toutes les solutions de(E).
3. Déterminer l’unique solution h de(E) vérifiant h(0)= 1 et h(1) = 0.
4. Soit f:]0,∞[−→ℝ une fonction deux fois dérivable sur]0,∞[ et qui vérifie:
{ t }^{ 2 }{ f }^{ '' }(t)+3t{ f }(t)+4f(t)=t\log { t }
(a) On pose g(x) = f { e }^{ x }, vérifier que g est solution de(E).
(b) En déduire une expression de f
Exercice 6
On considère l’équation différentielle suivante (E.D.) { y }^{ '' }-4{ y }^{ ' }+4y=d(x)
où d est une fonction qui sera précisée plus loin.
1. Résoudre l’équation différentielle homogène (ou sans second membre) associée à(E.D.).
2. Trouver une solution particulière de (E.D.) lorsque d (x) = { e }^{ -2x } et lorsque d(x) = { e }^{ 2x } respectivement
3. Donner la forme générale des solutions de (E.D) lorsque d(x)=\frac { { e }^{ -2x }+{ e }^{ 2x } }{ 4 }
Exercice 7
Résoudre: { y }^{ '' }(x)+2{ y }^{ ' }(x)+y(x)=2x\cos { x\cos { hx }}

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