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Exercices Analyse – Calculs d’intégrales + Correction | Aire – Application croissante

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Thèmes :

Partie 1 – ( 7 exercices ): Intégrale / Fonction continue / Fonction dérivable / Fonction intégrable / Intervalle fermé borné / Somme de Riemann – Darboux / Intégrable au sens de Riemann / Continuité en un point / Fonction continue positive / Sup / Limites / Application croissante
Partie 2 – ( 3 exercices ): Primitives
Partie 3 – ( 3 exercices ): Fonction positive / Fonction périodique / Fonction paire / Fonction impaire / Fonction dérivable / Ensemble de définition / Limite
Partie 4 – ( 4 exercices ): Intégrales / Intégrales de Wallis / Équivalence / Majoration
Partie 5 – ( 1 exercice ): Calculs d’aires / Courbe
Partie 6 – ( 1 exercice ): Limites de suites / Intégrales / Limites

Extrait :

Exercices Analyse – Calculs d’intégrales + Correction | Aire – Application croissante

Calculs d’intégrales
1 Utilisation de la définition
Exercice 1
Soit f la fonction définie sur [0,3] par f\left( x \right) =\begin{cases} -1 \\ 1 \\ 3 \end{cases}\\
1. Calculer \int _{ 0 }^{ 3 }{ f\left( t \right)  } dt
3. Montrer que F est une fonction continue sur [0,3]. La fonction F est-elle dérivable sur [3,0]?
Exercice 2
Montrer que les fonctions définies sur ℝ f\left( x \right) =x,g(x)\quad =\quad { x }^{ 2 } et h\left( x \right) ={ e }^{ x },
sont intégrables surtout intervalle fermé bornéde ℝ.En utilisant les sommes de Riemann,calculer les intégrales
\int _{ 0 }^{ 1 }{ f\left( x \right) dx,\int _{ 1 }^{ 2 }{ g\left( x \right)dx }} et h\left( x \right) ={ e }^{ x }
Exercice 3
Calculer l’intégrale de \int { [a,b] } →ℝ comme limite de sommes de Riemann-Darboux dans les cas suivants :
1. f\left( x \right) =\sin { x } et f\left( x \right) =\cos { x } sur \left[ 0,\frac { \pi  }{ 2 }\right] et { x }_{ k=\frac { K\pi  }{ { 2 }_{ n } }} k=0,1,....,n.
2.g\left( x \right) =\frac { 1 }{ x } sur [a,b] et { x }_{ k }=a{ q }^{ k },k=0,1,...,n
3.h\left( x \right) ={ \alpha  }^{ x }\quad sur\quad [a,b] et\quad { x }_{ k }=\alpha +(b-a),\frac { k }{ n } ,k=0,1,...,n
Exercice 4
1.f\left( x \right) =[x]\quad sur\quad [0,2]
Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann?
2.g:[0,1] \rightarrow ℝ g(x)= \begin{cases} [\frac { 1 }{ x } ] \\ 1 \end{cases} \quad \begin{matrix} si \\ si \end{matrix}
3.h:[0,1] \rightarrowh\left( x \right)=\begin{cases} \frac { 1 }{ x } \sin { (\frac { 1 }{ x } ) }  \\ 1 \end{cases}
4.k:[0,1] \rightarrow{ k }_{ 1 }(x)=\begin{cases} 1 \\ 0 \end{cases}\begin{matrix} si\quad x\quad \in  \\ si\quad x\quad \in  \end{matrix}
Exercice 5
Soit f:[a,b] \rightarrow ℚ une fonction intégrable sur [a,b] (a0$
Montrer que \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right)} dx>0. En déduire que si f est une fonction continue positive sur [a,b] telle que \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right)} dx=0 alors f est identiquement nulle.
2. On suppose que f est continue sur [a,b], et que \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right)  } dx\quad =\quad 0. Montrer qu’il existe c\in [a,b] tel que f(c) = 0.
3. Application : on suppose que f est une fonction continue sur [0,1],telle que \int _{ 0 }^{ 1 }{ f(t) } dt\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 }. Montrer qu’il existe d ∈ [0,1] tel que f(d) = d.
Exercice 6
Soit f: [a,b] \rightarrow ℝ continue, positive; on pose m=sup\{ f(x),x\in [a,b]\}. Montrer que

Exercice 7
Soit: f:[0,1] \rightarrow ℝ une application strictement croissante telle que f(0) = 0, f(1) = 1.Calculer:

2 Calculs de primitives
Exercice 8
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
a) \int { arctan.xdx } b) \int { { tan }^{ 2 } } xdx

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Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants
des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des
enseignants du supérieur.

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