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Exercices Analyse – Limites de fonctions + Correction | Fonction croissante – Fonction majorée

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Thèmes :

Partie 1 – ( 2 exercices ): Fonction périodique / Fonction majorée / Fonction croissante
Partie 2 – ( 6 exercices ): Limites

Extrait :

Exercices Analyse – Limites de fonctions + Correction | Fonction croissante – Fonction majorée

1 Théorie
Exercice 1
1. Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en +\infty.
2. Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite finie en +\infty.
Indication H
Exercice 2
1. Démontrer que { lim }_{ x\longrightarrow 0 }\frac { \sqrt { 1-x } -\sqrt { 1-x } }{ x } =1
2. Soient m,n des entiers positifs. Étudier { lim }_{ x\longrightarrow 0 }\frac { \sqrt { 1-{ x }^{ m } } -\sqrt { 1-{ x }^{ m } } }{ { x }^{ n } } =1
3. Démontrer que lim
{ lim }_{ x\longrightarrow 0 }\frac { 1 }{ x } (\sqrt { 1+x+{ x }^{ 2 } } -1)=\frac { 1 }{ 2 }
Indication H
2 Calculs
Exercice 3
Calculer lorsqu’elles existent les limites suivantes
a) { lim }_{ x\longrightarrow 0 }\frac { { x }^{ 2 }+2|x| }{ x }
b) { lim }_{ x\longrightarrow -\infty }\frac { { x }^{ 2 }+2|x| }{ x }x
c) { lim }_{ x\longrightarrow 2 }\frac { { x }^{ 2 }+4 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 }
d) { lim }_{ x\longrightarrow \pi }\frac { { sin }^{ 2 }x }{ 1+cosx }
e) { lim }_{ x\longrightarrow 0 }\frac { \sqrt { 1+x } -\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } }{ x }
f ) { lim }_{ x\longrightarrow +\infty }\sqrt { x+5 } -\sqrt { x-3 }
g) { lim }_{ x\longrightarrow 0 }\frac { \sqrt [ 3 ]{ 1+{ x }^{ 2 } } -1 }{ { x }^{ 2 } }
h) { lim }_{ x\longrightarrow 1 }\frac { x-1 }{ { x }^{ n }-1 }
Indication H
Exercice 4
Calculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes :
\lim _{ x\longrightarrow \alpha }{ \frac { { x }^{ n+1 }-{ \alpha }^{ n+1 } }{ { x }^{ n }-{ \alpha }^{ n } } }
\lim _{ x\longrightarrow 0 }{ \frac { tanx-sinx }{ sinx(cos2x-cosx) } } ;
\lim _{ x\longrightarrow +\infty }{ \sqrt { x+\sqrt { x+\sqrt { x } } } -\sqrt { x } }
\lim _{ x\longrightarrow { \alpha }^{ + } }{ \frac { \sqrt { x } -\sqrt { \alpha } -\sqrt { x-\alpha } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ \alpha }^{ 2 } } } }
\lim _{ x\longrightarrow 0 }{ xE(\frac { 1 }{ x } } );
\lim _{ x\longrightarrow 2 }{ \frac { { e }^{ x }-{ e }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+x-6 } };
\lim _{ x\longrightarrow +\infty }{ \frac { { x }^{ 4 } }{ 1+{ x }^{ \alpha }-{ sin }^{ 2 }x } }; en fonction de
{ \alpha } ∈ ℝ.
Indication H
Exercice 5
Calculer :
\lim _{ x\longrightarrow 0 }{ \frac { { x } }{ 2+{ sin }\frac { 1 }{ x } } }
; \lim _{ x\longrightarrow +\infty }{ (ln(1+{ e }^{ -x } } ){ ) }^{ \frac { 1 }{ x } }
; \lim _{ x\longrightarrow { 0 }^{ + } }{ { x }^{ \frac { 1 }{ ln({ e }^{ x }-1) } } }
Indication H
Exercice 6
Trouver pour (a,b) ∈ :
\lim _{ x\longrightarrow +\infty }{ (\frac { { a }^{ x }+{ b }^{ x } }{ 2 } } { ) }^{ \frac { 1 }{ x } }
Indication H
Exercice 7
Trouver pour (a,b) ∈ :
\lim _{ x\longrightarrow +\infty }{ (\frac { { a }^{ x }+{ b }^{ x } }{ 2 } } { ) }^{ \frac { 1 }{ x } }
Indication H
Exercice 8
Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.
1. \lim _{ x\longrightarrow { a }^{ + } }{ \frac { x+2 }{ { x }^{ 2 }lnx } }
2. \lim _{ x\longrightarrow { 0 }^{ + } }{ 2xln(x+\sqrt { x } ) }
3. \lim _{ x\longrightarrow +\infty }{ \frac { { x }^{ 3 }-2{ x }^{ 2 }+3 }{ xlnx } }
4. \lim _{ x\longrightarrow +\infty }{ \frac { { e }^{ \sqrt { x } +1 } }{ x+2 } }
5. \lim _{ x\longrightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { ln(3x+1) }{ 2x } }
6. \lim _{ x\longrightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { { x }^{ x }-1 }{ ln(x+1) } }
7. \lim _{ x\longrightarrow -\infty }{ \frac { 2 }{ x+1 } } ln(\frac { { x }^{ 3 }+4 }{ 1-{ x }^{ 2 } } )
8. \lim _{ x\longrightarrow (-1{ ) }^{ + } }{ ({ x }^{ 2 } } -1)ln(7{ x }^{ 3 }+4{ x }^{ 2 }+3)
9. \lim _{ x\longrightarrow { 2 }^{ + } }{ (x-2{ ) }^{ 2 } } ln({ x }^{ 3 }-8)
10. \lim _{ x\longrightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { x({ x }^{ x }-1) }{ ln(x+1) } }
11. \lim _{ x\longrightarrow +\infty }{ (xlnx-xln(x+2)) }
12. \lim _{ x\longrightarrow +\infty }{ \frac { { e }^{ x }-{ e }^{ { x }^{ 2 } } }{ { x }^{ 2 }-x } }
13. \lim _{ x\longrightarrow { 0 }^{ + } }{ (1+x{ ) }^{ lnx } }
14. \lim _{ x\longrightarrow +\infty }{ (\frac { x+1 }{ x-3 } } { ) }^{ x }
15. \lim _{ x\longrightarrow +\infty }{ (\frac { { x }^{ 3 }+5 }{ { x }^{ 2 }+2 } } { ) }^{ \frac { x+1 }{ { x }^{ 2 }+1 } }
16. \lim _{ x\longrightarrow +\infty }{ (\frac { { e }^{ x }+1 }{ { x }+2 } } { ) }^{ \frac { 1 }{ { x }+1 } }
17. \lim _{ x\longrightarrow { 0 }^{ + } }{ (ln(1+x){ ) }^{ \frac { 1 }{ lnx } } }

Aperçu :

Téléchargement :

feuille
Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants
des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des
enseignants du supérieur.

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