Examens / Partiels Suites et Séries de Fonctions

Examen Suites et Séries de Fonctions | Série de Fourier – Convergence uniforme

Thèmes :

Exercice 1: Convergence simple / Série / Convergence uniforme / Classe d’une fonction /
Exercice 2: Fonction périodique / Continuité / Dérivabilité / Série de Fourier / Coefficients de Fourier / Coefficients trigonométriques

Extrait :

Examen Suites et Séries de Fonctions | Série de Fourier – Convergence uniforme

Exercice 1

On considère la série de fonctions de terme général { f }_{ n }, définie sur ℝ par

{ f }_{ n }(x)=\frac { x }{ n(1+n{ e }^{ x }) } pour n>0

1. Montrer que la série \left( \sum { { f }_{ n } } \right) converge simplement sur ℝ. On note f sa somme:
\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { f }_{ n }(x) } pour tout x réel

2. Montrer que la série \left( \sum { { f }^{ , }n } \right) converge uniformément sur tous les segments de ℝ
3. Montrer que f est de classe C₁ sur ℝ.
4 a) Montrer que pour tout x ≥ 0 et tout entier n ≥ 1,
0\le { f }_{ n }(x)\le \frac { x }{ { n }^{ 2 }{ e }^{ x } }
4 b) Déterminer
\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f(x) }
5. a) Soit x

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