Examen Algèbre | Isomorphisme – Sous espace vectoriel

Thèmes :

Exercice 1: Intersections / Réunions / Complémentaires
Exercice 2: Vecteurs linéairement indépendants / Bases / Sous espace vectoriel / Supplémentaire
Exercice 3: Polynôme à coefficients réels / Division euclidienne / Décomposition en éléments simples
Exercice 4: Noyau / Sous espace vectoriel / Isomorphisme

Extrait :

Soit E un ensemble non vide
A tout sous-ensemble A de E, on associe l’application

a) Montrer que
b) Montrer que
c) Soit A, le complémentaire de A dans E.
Montrer que pour tout x ∈ E, on a :
d) Montrer que

e) Montrer que
Exercice 2 (4 points)

on considère le vecteurs suivants de ℝ⁵ :
u₁ = (1,2,0,1,1) , u₂=(0,1,1,1,1) , u₃ = (1,4,1,2,1).
a) Montrer que les vecteurs u₁, u₂, u₃ sont linéairement indépendants.
b) Soit V = (a, b, c, d, e )un vecteur de ℝ⁵. A quelles conditions v est-il élément sous-espace
vectoriel F engendré par u₁, u₂, u₃ dans ℝ⁵
c) Déterminer un supplémentaire dans ℝ⁵ et en donner une base.

Exercice 3 (6 points) . –
a) Déterminer un polynôme P de degré 3 à coefficients réels, divisible par X – 1 et X – 2 , tel que le reste de la division euclidienne de P par X² + 1 soit .1.
b) Décomposer X⁴ – 1 en produit .de polynômes irréductibles de ℝ[K].
9) Déterminer la ‘décomposition en éléments simples à coefficients réels des fractions rationnelles suivantes:

Exercice 4 (6 points) ,
Soit f : ℝ [X] -> ℝ⁴ l’application défnie par. f(P) = (P(1), P(2), P(3), P(4)) pour tout P ∈ ℝ [X].
a) Montrer que l’application f est linéaire.
b) Soit P ∈ ℝ [X] Montrer que P appartient A Ker f si et seulement si la polynôme P est multiple de (X — 1)(X — 2)(X — 3)(X — 4).
c) Soit ℝ₃[X] le sous-espace Vectoriel de ℝ [X] formé des polynômes nuls ou de degré inférieur ou
égal à 3 et soit g : ℝ₃[X] -> ℝ⁴ l‘application définie par g(P) = f(P) pour tout P ∈ ℝ₃[X]
1) Montrer que l’application g est linéaire et injective.
2) En déduire que g est un isomorphisme et que pour tous nombres réels a, b, c, d, il existe un unique polynôme P ∈ ℝ₃[X] tel que :
P(1)=a, P(2)=b, P(3)=c et P(4)=d.

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