Algèbre Examens / Partiels

Examen Algèbre | Isomorphisme – Sous espace vectoriel

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

J'accepte de recevoir des informations par email

privacy Je déteste les spams : je ne donnerai jamais votre email.

Thèmes :

Exercice 1: Intersections / Réunions / Complémentaires
Exercice 2: Vecteurs linéairement indépendants / Bases / Sous espace vectoriel / Supplémentaire
Exercice 3: Polynôme à coefficients réels / Division euclidienne / Décomposition en éléments simples
Exercice 4: Noyau / Sous espace vectoriel / Isomorphisme

Extrait :

Examen Algèbre | Isomorphisme – Sous espace vectoriel

Soit E un ensemble non vide
A tout sous-ensemble A de E, on associe l’application { X }_{ A }:E\rightarrow \left\{ 0,1 \right\}
\begin{cases} x\mapsto 1\quad si\quad x\quad \in \quad A \\ x\mapsto 0\quad si\quad x\quad \notin \quad A \end{cases}
a) Montrer que { A }_{ 1 }\subset { A }_{ 2 }\Leftrightarrow { x }_{ { A }_{ 1 } }\le { x }_{ { A }_{ 2 } }
b) Montrer que { A }_{ 1 }={ A }_{ 2 }\Leftrightarrow { x }_{ { A }_{ 1 } }={ x }_{ { A }_{ 2 } }
c) Soit C={ \complement }_{ E } A, le complémentaire de A dans E.
Montrer que pour tout x ∈ E, on a : { x }_{ { A } }(x)+{ x }_{ c }(x)=1
d) Montrer que { x }_{ { A }_{ 1 }\cap { A }_{ 2 } }={ x }_{ { A }_{ 1 } }\times { x }_{ { A }_{ 2 } }

e) Montrer que { x }_{ { A }_{ 1 }\cup { A }_{ 2 } }={ x }_{ { A }_{ 1 } }+{ x }_{ { A }_{ 2 } }-{ x }_{ { A }_{ 1 }\cap { A }_{ 2 } }
Exercice 2 (4 points)

on considère le vecteurs suivants de ℝ⁵ :
u₁ = (1,2,0,1,1) , u₂=(0,1,1,1,1) , u₃ = (1,4,1,2,1).
a) Montrer que les vecteurs u₁, u₂, u₃ sont linéairement indépendants.
b) Soit V = (a, b, c, d, e )un vecteur de ℝ⁵. A quelles conditions v est-il élément sous-espace
vectoriel F engendré par u₁, u₂, u₃ dans ℝ⁵
c) Déterminer un supplémentaire dans ℝ⁵ et en donner une base.

Exercice 3 (6 points) . –
a) Déterminer un polynôme P de degré 3 à coefficients réels, divisible par X – 1 et X – 2 , tel que le reste de la division euclidienne de P par X² + 1 soit .1.
b) Décomposer X⁴ – 1 en produit .de polynômes irréductibles de ℝ[K].
9) Déterminer la ‘décomposition en éléments simples à coefficients réels des fractions rationnelles suivantes: \frac { { X }^{ 2 }+1 }{ { X }^{ 4 }-1 }
\frac { { X }^{ 5 }+3X-2 }{ { X }^{ 4 }-1 }

Exercice 4 (6 points) ,
Soit f : ℝ [X] -> ℝ⁴ l’application défnie par. f(P) = (P(1), P(2), P(3), P(4)) pour tout P ∈ ℝ [X].
a) Montrer que l’application f est linéaire.
b) Soit P ∈ ℝ [X] Montrer que P appartient A Ker f si et seulement si la polynôme P est multiple de (X — 1)(X — 2)(X — 3)(X — 4).
c) Soit ℝ₃[X] le sous-espace Vectoriel de ℝ [X] formé des polynômes nuls ou de degré inférieur ou
égal à 3 et soit g : ℝ₃[X] -> ℝ⁴ l‘application définie par g(P) = f(P) pour tout P ∈ ℝ₃[X]
1) Montrer que l’application g est linéaire et injective.
2) En déduire que g est un isomorphisme et que pour tous nombres réels a, b, c, d, il existe un unique polynôme P ∈ ℝ₃[X] tel que :
P(1)=a, P(2)=b, P(3)=c et P(4)=d.

Aperçu :

Téléchargement :

Sujet d'examen

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

J'accepte de recevoir des informations par email

privacy Je déteste les spams : je ne donnerai jamais votre email.

Laisser un commentaire