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Partiel Algèbre | Endomorphisme – Noyau – Image

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Thèmes:

Exercice 1: Famille libre / Application linéaire injective / Espace vectoriel / Endomorphisme / Noyau / Image / Rang
Exercice 2: Espace vectoriel / Application linéaire / Sous espace vectoriel / Dimension / Somme directe / Matrice / Isomorphe
Exercice 3: Hyperplan / Espace vectoriel / Application linéaire / Base / Noyau / Vecteur / Matrice

Extrait:

UE6 Algèbre linéaire Année 2011-2012
I. Questions proches du cours
Les deux questions sont indépendantes
1. — Montrer que l’image d’une famille libre par une application linéaire injective est encore une
famille libre.
2. — Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie et soient f et g deux endomorphismes de E
tels que :

a) Montrer que pour tout v E, on a : v – (g f)(v) Ker f.
En déduire que E = Ker f Img.
b) Comparer le rang de f et le rang de g.

II. Exercice : endomorphismes f tels que f f = -id
Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n > 1. On suppose qu’il existe une application
lin´eaire f L(E) vérifiant f f = -idE.
1. — Soit x E non nul. On note Ex le sous-espace vectoriel de E engendré par x et f(x).
a) Montrer que dimEx = 2.
b) Montrer l’inclusion f(Ex) Ex.
2. — Montrer que s’il existe y ? E tel que y / Ex, alors on a :
Ex n Ey = {0} et f(Ex Ey) Ex Ey.
3. — Montrer que s’il existe de plus z E tel que z / Ex Ey, alors on a :
(Ex Ey) n Ez = {0} et f(Ex Ey Ez) Ex Ey Ez.

Construire une famille de vecteurs x1, . . . , xp de E tels que :
E = Ex1 · · · Exp .
5. — En déduire que s’il existe dans E une application linéaire f ? L(E) vérifiant f f = -idE,
alors :
a) l’entier n = dimE est pair ;
b) il existe une base de E telle que la matrice de f dans cette base soit de la
forme où Ip est la matrice identité p × p.
6. — Réciproquement, montrer que tout espace vectoriel de dimension paire admet un endomorphisme g vérifiant g ? g = -id.
7. — On considère le sous-espace vectoriel F de L(E) engendré par f et idE. vérifier que F est stable pour la loi de composition des endomorphismes, puis montrer que (F,+, ?) est isomorphe au corps des nombres complexes (C,+,×).

III. Exercice : intersections d’hyperplans
Soit E un k–espace vectoriel de dimension finie n > 1. On appelle hyperplan de E un sous-espace vectoriel H E de dimension dimH = dimE-1. Pour simplifier les notations, on note L l’espace L(E, k) des applications linéaires de E dans k.
1. — Soit : E k un élément non nul de L. Montrer que ker est un hyperplan de E.
2. — Réciproquement, soit H un hyperplan de E.
a) Montrer qu’il existe une base (e1, . . . , en) de E telle que :
i [1, n – 1], ei H.
b) Montrer qu’il existe une fonction non nulle L telle que H = ker .
3. — Soient et deux fonctions non nulles de L. Montrer que l’on a ker = ker si et seulement s’il existe un scalaire 6= 0 tel que
4. — Soient F un sous-espace vectoriel de E et H un hyperplan de E.
a) Montrer que si F H alors F + H = E.
b) En distinguant selon que F H ou non, déterminer dimF n H en fonction de dimF.
En déduire que l’on a dans tous les cas dimF n H > dimF – 1.
5. — Soient l > 1 un entier et H1, . . . ,Hl des hyperplans de E. Montrer l’inégalité :
dim(H1 n · · · n Hl) > n – l.
Si les hyperplans H1, . . . ,Hl sont deux à eux distincts a-t-on nécessairement égalité dans l’inégalité précédente ?

Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension dimF = d.
a) Montrer qu’il existe une base (e1, . . . , en) de E telle que :
b) Pour tout entier r [1, n], soit Hr l’hyperplan :
Hr := Vect(e1, . . . , er-1, er+1, . . . , en).
Montrer que l’on a
c) F peut-il s’exprimer comme une intersection de moins que n – d hyperplans ?
Dans la suite de l’exercice on suppose E = kn. On identifie éléments de kn et vecteurs
colonnes de Mn,1(k).
Soit dans L. Montrer qu’il existe des uniques scalaires a1, . . . , an k tels que

8. — Soient C1, . . . ,Cd une famille libre de vecteurs colonnes et l’on pose F = Vect{C1, . . . ,Cd}.
un vecteur colonne. On note MX la matrice n × (d + 1) suivante :
MX := hC1 |. . . |Cd |X i
a) Montrer que X F si et seulement si MX est de rang d.
b) Montrer qu’il existe des fonctions 1, . . . , n L telles que pour tout vecteur colonne X la
matrice MX soit équivalente à la matrice :
et donner un algorithme pour les obtenir.
c) Montrer que F = (ker d+1) n · · · n (ker n).
9. — Soit a k un paramètre et soient C1 et C2 les vecteurs colonne suivants :
En discutant selon les valeurs de a, écrire Vect(C1,C2) comme une intersection d’hyperplans.

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