Topologie

Partiel Topologie | Adhérence – Application fermée

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Thèmes :

Question de cours : Espace métrique / Adhérence / Suite / Espace topologique / Intérieur / Homéomorphisme / Bijection / Partie ouverte
Exercice 1 : Dense / Stable
Exercice 2 : Application continue / Espace topologique / Séparé / Fermé / Partie dense
Exercice 3 : Image / Application continue / Adhérence / Application fermée / Intérieur
Problème : Fonction bornée / Sup / Suite de Cauchy / Convergence / Limite / Espace métrique

Extrait :

Partiel Topologie | Adhérence – Application fermée

Question de cours 1.
Soient (E , d) un espace métrique et A une partie de E. Montrer qu’un point a de E est adhérent
à A si et seulement s’il existe une suite de points de A convergeant vers a.

Question de cours 2.’
Soient E un espace topologique et A et B deux parties de E. Montrer que :

1. A ⊂ B =>
2. A\mathring { \cap B } => \mathring { A } \cap \mathring { B }
3. A ⊂ B =>
4. \bar { A\cap B }\bar { A } \cap \bar { B }

Question de cours 3.

Soient E et F deux espaces topologiques. Montrer qu’une application f : E —> F est un-

homéomorphisme si et seulement si elle vérifie les trois conditions suivantes :
1. Papplication f est bijective;
2. pour toute partie ouverte U de E, f (U) est ouverte dans F ;
3. pour toute partie ouverte V de F, { f }^{ -1 }(V) est ouverte dans E.

Exercice 1.
On veut montrer que l’ensemble D des réels de la forme p+q\sqrt { 2 } où p et q décrivent ℤ, est
dense dans ℝ.

1. Montrer que D est stable par addition.
2. Montrer que D est stable par multiplication.
3. On pose ; montrer que pour tous a < b, on peut trouver tel que 4. Montrer que pour tous a < b, on peut trouver m ∈ ℤ vérifiant 5. En déduire que D est dense dans ℝ. Exercice 2. Soient f, g deux applications continues de X dans Y, espaces topologiques, Y séparé. 1. Montrer que {z ∈ X; f(x) = g(x) est fermé dans X. 2. En déduire que si f et g coïncident sur une partie dense de X, alors f = g. Exercice 3. 1. Montrer que f est continue si et seulement si pour tout A dans X. Que peut-on dire alors de Pimage par f d’un ensemble dense dans X Î’ 2. Montrer que f est fermée si et seulement si, et que f est ouverte si et seulement si $latex f(\mathring { A } )\subset f(\mathring { A } )$ Problème 1. Soit A un ensemble non vide. On dit qu‘une fonction f de A dans ℂ est bornée s’il existe un réel M, qui dépend de f, tel que, pour chaque x ∈ A, on a. On note l’ensemble des fonctions bornées de A dans C. Pour f, g E

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