Thèmes :
Exercice 1: Intégrales impropres
Exercice 2: Séries
Exercice 3: Séries / Convergence / Dérivabilité
Exercice 4: Suites / Séries / Développement limité / Intégrales
Extrait :
Partiel Séries-Intégrations | Convergence – Développement limité
Exercise 1. Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes
dx;
dx
Exercice 2. Etudier les séries suivantes :
;
;
;
Exercice 3. On souhaite étudier la série de terme général
avec
1. A quelle condition la série converge t-elle absolument?
2. On pose
3. On considère la fonction f:[1,+8[–>R définie par .Calculer
.E n déduire
qu‘il existe A ? [1, +8[ tel que f soit décroissante sur [A, +8[. (On pourra faire tendre x vers +8).
4. En déduire la nature de la série puis celle de
Exercice 4.
1. Soient. et
deux suites à termes strictement positifs.
(a) Montrer que si et seulement si, pour tout, il existe un entier K ? N tel que, pour tout entier k = K, on ait
(b) On suppose que la série est convergente et que
Est ce que la série
converge?
Comment définit-on ? Démontrer que
2. On pose et
pour tout
(a) On pose, pour ,
et
Faire un développement limité en
de
à l’ordre 2 et en déduire que la suite
converge.On note
sa limite
(b) On pose pour ,
.Montrer que
(C) Déterminer un équivalent simple de cette dernière expression (on pourra utilise: des intégrales).
(d) Montrer que
Exprimer en fonction de
,
,ln et n En déduire que
Formulaire (DL usuels en zéro) :
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