Algèbre Linéaire Examens / Partiels

Partiel Algèbre linéaire | Anneau – Base

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Thèmes :

Questions de cours: Monoïde / Groupe / Anneau / Corps / Domaine d’intégrité / Element premier / Element irréductible / Valeur propre / Vecteur propre / Sous espace propre / Matrice Diagonalisable / Matrice triangularisable
Exercice 1: Déterminant / Matrice inversible
Exercice 2: Base canonique / Endomorphisme / Image / Noyau / Rang / Base / Puissance d’une matrice
Exercice 3: Domaine d’intégrité / Récurrence / Divisibilité / Nombre premier / Théorème de Fermat

Extrait :

Partiel Algèbre linéaire | Anneau – Base

Test

I) Énoncer : ‘ la définition d’un monoïde,
d’un groupe,
d’un anneau,
d’un corps ;
d’un domaine d‘intégrité,
d’un élément : irréductible,
: premier ;
d’une valeur propre,
d’un vecteur propre,
d’un sous-espace propre.
des caractérisations d’une matrice : diagonalisable,
: triangularisation.
Partiel

I) 1) Montrer que les matrices \begin{pmatrix} cosa & -sina \\ sina & cosa \end{pmatrix} et \left( \begin{matrix} -3 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{matrix} \right) sont inversibles, puis calculer leurs inverses.

2)Déterminer n ∈ ℕ vérifiant \left| \begin{matrix} a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{matrix} \right| =(a+b+c{ ) }^{ n }

II)On note C=({ e }_{ 1 },{ e }_{ 2 },{ e }_{ 3 }) la base canonique de
1) a) Montrer que définie par est une base de E;
b) Déterminer mat(f;\beta ) et Mat( f ; C), où f est l’endomorphisme de E défini par

Etant donné endomorphisme g de E défini par Mat(g ; C) = M=\left( \begin{matrix} 3 & -2 & -1 \\ -4 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \end{matrix} \right) , déterminer l’image de g,le noyau de g, le rang de g; expliciter une base de l’image de g, du noyau de g; vérifier que E = Im g ⊕ Ker g.

3) a) Montrer qu’il est possible de choisir deux vecteurs η₁ et η₂ dans E* vérifiant : g(η₁) = 5η₁, g(η₂) = – 3η₂ ;
b) Vérifier que A = (η₁, η₂, ε₃) est une base de E ; déterminer Mat( g ; A) ;
c) Déduire de b) le calcul de { M }^{ n } pour tout n ∈ ℕ.

III) 1) On considere un domaine d’intégrité R, a ∈ R, k ∈ ℕ* et ({ b }_{ 1 }...{ b }_{ k }){ R }^{ k } « . Montrer, par récurrence sur k, que,
si a est premier et divise { b }_{ 1 }x...x{ b }_{ k } alors il existe j ∈ { \left[ 1,k \right] }_{ N } tel que a divise { b }_{ j }
2) Déduire de 1) que, étant donné p ∈ ℕ*, h ∈ [0,p{ [ }_{ N } et c ∈ ℕ, si p est premier et divise h ! x c, alors p divise c.
3) Déduire de 2) que, étant donné p ∈ ℕ, si p est premier, alors, pour tout h ∈ [0,p{ [ }_{ N,p } divise
\left( P\\ h \right) =\frac { p! }{ h!(p-h)! }
4) Déduire de 3), par récurrence pour n ∈ ℕ, puis par opposition pour n ∈ ℤ — ℕ, le théorème de Fermat :

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