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Exercices Analyse – Continuité + Correction | Domaine de définition – Fonction bornée

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Thèmes :

Partie 1 – ( 3 exercices ): Graphique / Fonction continue / Fonction réciproque / Prolongement par continuité
Partie 2 – ( 3 exercices ): Limites / Fonction / Fonction continue / Fonction bornée
Partie 3 – ( 3 exercices ): Domaines de définition / Fonction constante / Fonction croissante / Point fixe

Extrait :

Exercices Analyse – Continuité + Correction | Domaine de définition – Fonction bornée

1 Pratique
Exercice 1
Soit f la fonction réelle à valeurs réelles définie par
$latex f(x)=\{ \begin{matrix} x \\ { x }^{ 2 } \\ 8\sqrt { x } \end{matrix}\begin{matrix} si\quad x\quad <\quad 1 \\ si\quad 1\quad \le x\le 4 \\ si\quad x\quad >\quad 4 \end{matrix}$
1. Tracer le graphe de f .
2. f est elle continue ?
3. Donner la formule définissant { f }^{ -1 }.
Indication H
Exercice 2
Soit f : ℝ telle que f(x)=\frac { 2x+3 }{ 3x-1 } .
Pour tout déterminer \delta tel que.
Que peut-on en conclure ?
Indication H
Exercice 3
Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur ℝ?
a) f(x)=sinx.sin\frac { 1 }{ x }; b) g(x)=\frac { 1 }{ x } ln\frac { { e }^{ x }+{ e }^{ -x } }{ 2 };
c) h(x)=\frac { 1 }{ 1-x } -\frac { 2 }{ 1-{ x }^{ 2 } }
Indication H
2 Théorie
Exercice 4
Soient I un intervalle de ℝ et f : I\longrightarrow ℝ continue, telle que pour chaque x ∈ I, f(x{ ) }^{ 2 } = 1. Montrer que f = 1 ou
f = -1.
Indication H
Exercice 5
Soit I un intervalle ouvert de ℝ, f et g deux fonctions définies sur I.
1. Soit a ∈ I. Donner une raison pour laquelle :
({ lim }_{ x\longrightarrow a }f(x)=f(a))=>({ lim }_{ x\longrightarrow a }|f(x)|=|f(a)|)
2. On suppose que f et g sont continues sur I. En utilisant l’implication démontrée ci-dessus, la relation
sup( f,g)= \frac { 1 }{ 2 } (f+g+|f-g|), et les propriétés des fonctions continues, montrer que la fonction sup( f,g)
est continue sur I.
Indication H
Exercice 6
Soit f : ℝ continue admettant une limite finie en +\infty. Montrer que f est bornée. Atteint-elle ses bornes ?
Indication H
3 Etude de fonctions
Exercice 7
Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes
f(x)=\sqrt { \frac { 2+3x }{ 5-2x } } ; g(x) = f(x)=\sqrt { { x }^{ 2 }-2x-5 }; h(x)=ln(4x+3)

Exercice 8
Soit f : ℝ continue en 0 telle que pour chaque x ∈ ℝ, f(x) = f(2x). Montrer que f est constante.
Indication H
Exercice 9
Soit f : [0,1] \longrightarrow[0,1] croissante, montrer qu’elle a un point fixe.
Indication : étudier

Indication H
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Indication pour l’exercice 1 N
Ditinguer trois intervalles pour la formule définissant { f }^{ -1 }.
Indication pour l’exercice 2 N
Le “e” vous est donné, il ne faut …

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Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants
des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des
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