Analyse Examens / Partiels

Examen Analyse | Dérivée – Développement limité

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Thèmes :

Exercice 1: Système linéaire / Système régulier / Système homogène
Exercice 2: Développement limité / Voisinage
Exercice 3: Étude de fonction / Domaine de définition / Limites / Dérivée / Point d’inflexion
Exercice 4: Équation différentielle
Exercice 5: Différentielle
Exercice 6: Intégrale

Extrait :

Examen Analyse | Dérivée – Développement limité

I. Systèmes linéaires (~ 12 points)
Soit le système linéaire complexe suivant (avec { i }^{ 2 }=-1)
\{ \begin{matrix} 2ix+3iy+2z=2 \\ ix+iy+3z=4 \\ ix+2iy-z=-2 \end{matrix}
I.1 Ecrire ce système sous forme matricielle de la forme MX=B. Quelles sont les
expressions de X et B ?
I.2 Le système est-il régulier, homogène ? Justifier.
I.3 Discuter l’existence ou non de solution(s). Le cas échéant, calculer la (ou les)
solution(s) du système.
II. Développement limité (~ 10 points)
Soit une fonction f définie pour x réel :
f(x)=\sqrt { { e }^{ x }+1 }
II.1 Rappeler le développement limité (DL) d’une fonction h(x) à l’ordre n au
voisinage de { x }_{ 0 }=0.
II.2 Donner le DL de la fonction
!
g(x)={ e }^{ x }+1 au voisinage de { x }_{ 0 }=0 à l’ordre 2.
II.3 Calculer le DL de la fonction
!
f (x) au voisinage de xo=0 aussi à l’ordre 2.
III. Etude de fonction (~ 18 points)
On se propose d’étudier la fonction :
f(x)=\frac { ln(3x)-1 }{ 3x }
On résoudra les étapes suivantes :
III.1 Domaine de définition de
!
f
III.2 Limites de f aux bornes de son intervalle de définition
III.3 Dérivée première { f }^{ ' }(x)
III.4 Extrema de
!
f
III.5 Dérivée seconde
{ f }^{ '' }(x)
III.6 Points d’inflexion de
f
III.7 Tableau de variations
III.8 Graphe de
f
(AN : On donne comme valeurs numériques approchées, e≈2.7, { e }^{ 5/2 } ≈12, { e }^{ -1 } 1≈0.37 et { e }^{ -2 }≈0.137)
IV. Equation différentielle (~ 6 points)
On observe l’évolution de la densité N d’un système complexe de molécules
données par l’équation différentielle suivante :
2\frac { { d }^{ 2 }N }{ d{ t }^{ 2 } } -\frac { dN }{ dt } -N=0
IV.1 Résoudre cette équation différentielle.
IV.2 Trouver la valeur des constantes obtenues à la question précédente,
sachant que N(0)={ N }_{ 0 }\quad et\quad \frac { dN }{ dt } (0)={ N }^{ ' }(0)=0
V. Différentielle (~ 10 points)
V.1 Les formes différentielles suivantes, sont-elles des différentielles totales ?
\delta \omega (x,y)=K(1+{ y }^{ 2 })dx+2Kxydy (avec K réel)
{ \delta }_{ \chi }(x,y)=xycosxdx+xycosydy
V.2 Le cas échéant, calculer l’expression de la fonction
f(x,y) dont la forme
différentielle dérive.
VI. Intégrale (~ 4 points)
Calculer l’intégrale suivante :
\int _{ 0 }^{ 1 }{ x{ e }^{ 2x }dx } (AN : on prendra comme valeurs numériques
approchées, e≈3)

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Énoncés et corrections d'exercices

Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des enseignants du supérieur.

vv

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