Algèbre Examens / Partiels

Examen Algèbre | Application linéaire – Base canonique

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Thèmes :

Exercice 1: Espace vectoriel / Dimension / Application linéaire injective / Application surjective / Famille libre / Famille liée
Exercice 2: Vecteur / Vecteurs indépendants
Exercice 3: Base canonique / Application linéaire / Coordonnées dans une base / Matrice / Matrice de passage / Matrice inversible

Extrait :

Examen Algèbre | Application linéaire – Base canonique

Exercice 1 (Questions de cours) –
i) Soient E et F , 2 espaces vectoriels sur C avec dim E = 2 et dim F = 3. Peut-on trouver une application linéaire injective de E dans F qui ne soit pas surjective ? Justifier.
ii) Peut-on trouver une famille F = {f1 , f2 , f3 } de R3 telle que {f1 , f2 }, {f2 , f3 } et {f1 , f3 } soient toutes les trois libres et F soit liée ? Justifier.
iii) Soit F et G 2 sous-espaces vectoriels de R . Quelle est la dimension de F inter G ? Justifier.

Exercice 2
Soient 3 vecteurs de R3. A quelle condition nécessaire et suffisante sur a appartenant à R, les vecteurs u, v sont-ils indépendants ?
Dans le cas où et v sont indépendants, trouver un vecteur w de R3 telle que la famille B = {u, v, w} soit une base de R3
Quelles sont les coordonnées de X dans B ?

Exercice 3
Soit la base canonique de R3.
Soit l’application linéaire suivante.

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