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Exercices Algèbre + Correction – Polynômes | Bezout – Division euclidienne

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Thèmes :

16 exercices : Division euclidienne / Puissances croissantes / Relation de Bezout / Puissances décroissantes / PGCD / Ordre de multiplicité / Racine multiple / Facteurs d’irréductibles / Factorisation

Extrait :

Exercices Algèbre + Correction – Polynômes | Bezout – Division euclidienne

Exercice 1. Effectuer les divisions euclidiennes de
3{ X }^{ 5 }+4{ X }^{ 2 }+1 par { X }^{ 2 }+4{ 2X }+3,
{ 3X }^{ 5 }+{ 2{ X }^{ 4 } }-{ X }^{ 2 }+1 par { X }^{ 3 }+{ { X } }+2,
{ X }^{ 4 }+{ X }^{ 3 }+X-2 par { X }^{ 2 }-2{ X }+4
Exercice 2. Effectuer la division selon les puissances croissantes de :
{ X }^{ 4 }+{ X }^{ 3 }-2X+1 par { X }^{ 2 }+{ X }+1 `a l’ordre 2.
Exercice 3. Trouver les polynˆomes P tels que P+1 soit divisible par (X-1{ ) }^{ 4 }
et P − 1 par (X-1{ ) }^{ 4 }
1. en utilisant la relation de B´ezout,
2. en consid´erant le polynˆome d´eriv´e {P}^{'}.
Combien y a-t-il de solutions de degr´e \le 7 ?
Exercice 4. Effectuer la division de A={ X }^{ 6 }-2{ X }^{ 4 }+{ X }^{ 3 }+1 par B={ X }^{ 3 }-2{ X }^{ 2 }+1
1. Suivant les puissances d´ecroissantes.
2. `A l’ordre 4 (c’est-`a-dire tel que le reste soit divisible par {X}^{4}) suivant
les puissances croissantes.
Exercice 5. Effectuer la division euclidienne de { X }^{ 5 }-7{ X }^{ 4 }-{ X }^{ 2 }-9X+9
par { X }^{ 2 }-5X+4
Exercice 6. Quels sont les polynˆomes P ∈ C[X] tels que {P}^{'} divise P ?
Exercice 7. Calculer pgcd(P,Q) lorsque :
1. P={ X }^{ 3 }-{ X }^{ 2 }-X-2 et Q={ X }^{ 5 }-2{ X }^{ 4 }+{ X }^{ 2 }-X-2,
2. P={ X }^{ 4 }+{ X }^{ 3 }-2X+1 et Q={ X }^{ 3 }+X+1
Exercice 8. D´eterminer le pgcd des polynˆomes suivants :
{ X }^{ 5 }+3{ X }^{ 4 }+{ X }^{ 3 }+3X+1 et { X }^{ 4 }+2{ X }^{ 3 }+{ X }+2,
{ X }^{ 4 }+2{ X }^{ 3 }+{ 3{ X }^{ 2 } }+4X-1, { X }^{ 3 }+{ X }^{ 2 }-{ { X } }-1
{ { X }^{ 5 } }+{ 5X }^{ 4 }-{ { 9{ X }^{ 3 } } }+7{ X }^{ 2 }+5X+3 et { { X }^{ 4 } }+{ 2X }^{ 3 }-{ { 2{ X }^{ 2 } } }+X+1

Exercice 9. Calculer le pgcd D des polynˆomes A et B d´efinis ci-dessous.
Trouver des polynˆomes U et V tels que D = AU + BV .
1. A={ X }^{ 5 }+3{ X }^{ 4 }+2{ X }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }-3X-2 et B={ X }^{ 4 }+2{ X }^{ 3 }-2{ X }^{ 2 }-7X+6
2.A={ X }^{ 6 }-2{ X }^{ 5 }+2{ X }^{ 4 }-3{ X }^{ 3 }+3{ X }^{ 2 }-2X et A=2{ X }^{ 4 }-2{ X }^{ 3 }+{ X }^{ 2 }-X+1
Exercice 10. D´ecomposer dans ℝ[X], sans d´eterminer ses racines, le polyn
ˆome P={ X }^{ 4 }+1, en produit de facteurs irr´eductibles.
Exercice 11. Pour n ∈ , quel est l’ordre de multiplicit´e de 2 comme racine
du polynˆome
n{ X }^{ n+2 }-(4n+1){ X }^{ n+1 }+4(n+1){ X }^{ n }-4{ X }^{ n-1 }
Exercice 12. Pour quelles valeurs de a le polynˆome (X+1{ ) }^{ 7 }-{ X }^{ 7 }-a
admet-il une racine multiple r´eelle ?
Exercice 13. Dans ℝ[X] et dans ℂ[X], d´ecomposer les polynˆomes suivants
en facteurs irr´eductibles.
1. { X }^{ 3 }-3
2. { X }^{ 12 }-1
Exercice 14. Factoriser dans ℝ[X] :
1. { X }^{ 6 }+1
2. { X }^{ 9 }+{ X }^{ 6 }+{ X }^{ 3 }+1.
Exercice 15. Trouver un polynˆome P de degr´e \le 2 tel que
P(1) = −2 et …

Aperçu:

 

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Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants
des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des
enseignants du supérieur.

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