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Exercices Analyse – Fonctions et topologie élémentaire de Rn + Correction | Adhérence – Boule ouverte

Thèmes :

Partie 1 – ( 5 exercices ): Graphe / Lignes de niveaux / Courbe paramétrée / Surfaces de niveaux / Partie ouverte / Partie fermée / Intérieure / Adhérence / Boule ouverte / Réunion / Intersection

Extrait :

Exercices Analyse – Fonctions et topologie élémentaire de Rn + Correction | Adhérence – Boule ouverte

Enoncés : Stephan de Bièvre
Corrections : Johannes Huebschmann
Fonctions et topologie élémentaire de ℝ ^{ n } et B _{ 2 }\subset^{ m }

Exercice 1
1. Tracer le graphe de la fonction f : ℝ ^{ 2 }\rightarrow ℝ définie par f (x,y) = { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }; et tracer les lignes de niveau de cette fonction.
2. Tracer les graphes des fonctions f et g définies par f (x,y) = 25 − ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) et g(x,y) = 5 − \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }}
3. Tracer le graphe de la courbe paramétrée f: ℝ \rightarrow^{ 2 } f(x)= (x\cos { x,x\sin { x }})
4. Peut-on représenter graphiquement l’application de la question (3.)? Comment?
5. Décrire les surfaces de niveau de la fonction f: ℝ ^{ 3 }\rightarrow ℝ définie par f(x,y,z) = exp (x+{ y }^{ 2 }-{ z }^{ 2 })
6. Pourquoi ne peut-t-on pas naïvement représenter le graphe de l’application f: ℝ^{ 2 }\rightarrow^{ 2 },f(x,y)=(-y,x) sur une feuille de papier. Comment peut-on graphiquement représenter cette application?
Exercice 2
Déterminer si chacune des parties suivantes du plan sont ouvertes ou fermées, ou ni l’un ni l’autre. Déterminerchaque fois l’intérieur et l’adhérence.
1. { A }_{ 1 }=\{ (x,y)\in^{ 2 }|{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }>1\}
2. { A }_{ 2 }=\{ (x,y)\in^{ 2 }|{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=1,y>0\}
Exercice 3
1. Soient B latex _{ 1 }\subset$ ℝ ^{ n } des boules ouvertes. Montrer que B _{ 1 }\times B _{ 2 }\subset^{ n+m } est un ouvert.
2. Soit A un ouvert de ℝ ^{ 2 } et B un ouvert de ℝ. Montrer que A×B est un ouvert de ℝ ^{ 3 }
Exercice 4
1. Soit ({ A }_{ n })(n\in) une suite de parties ouvertes de ℝ ^{ 2 } Est-ce que la réunion des { A }_{ n } est encore une partie ouverte? Et leur intersection?
2. Même question pour une famille de parties fermées.
Exercice 5
Soit A = \{ (t,\sin { \frac { 1 }{ t }  } )\in^{ 2 };t>0\}. Montrer que A n’est ni ouvert ni fermé. Déterminer l’adhérence \overset { - }{ A } de A Retrouver cette fiche et d’autres exercices de maths sur exo7.emath.fr

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