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Examen Cryptographie | Système RSA – Inversible

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Thèmes :

Question de cours: Système RSA
Exercice 1: Nombre premier / Divisibilité / Inversible / Division euclidien
Exercice 2: Nombre premier / Division euclidienne / Facteurs premiers /
Exercice 3: x²+y²=z² / Équation / PGCD / Modulo / Nombres premiers / Divisibilité

Extrait :

Question de cours: Alice souhaite utiliser le système RSA pour recevoir des messages cryptés; elle choisit donc deux grands nombres p_1 et p_2; calcule leur produit n_A=p_1*p_2. Elle calcule ensuite phi(n_A), choisit un entier d_A compris entre 2 et phi(n_A)-1, premier avec phi(n_A), et calcule l’entier e_A compris entre 2 et phi(n_A)-1 tel que d_A*e_A=1[phi(n_A). Elle publie alors le couple (n_A,e_A) qui est sa clef secrète, et garde pour elle l’entier d_A qui est sa clé privée.

1) Pourquoi un entier e_A ayant les propriétés ci-dessus existe-t-il ? Comment Alice va-t-elle le calculer ?
2) Bob souhaite envoyer un message m, vu comme un entier compris en 2 et n_A-1 à Alice.
a)Quel calcul effectue Bob avant d’envoyer son message ?
b) Quel calcul doit effectuer Alice pour décrypter le message de Bob ?
c) Pourquoi un observateur, qui aurait lu le message envoyé par Bob ne peut espérer retrouver le message original, même en connaissant la clé publique d’Alice ?
d) Pourquoi est-til déconseillé à Alice de choisir pour p_1 et p_2 deux entiers proches ?

Exercice 1:

i) Trouver l’unique nombre premier qui sécrit avec 7 chiffres en base 2 et 4 chiffres en base 5.

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