1ère Année Analyse Exercices

Exercices Analyse – Suites + Correction | Convergence – Fonction croissante

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Thèmes :

Partie 1 – ( 7 exercices ): Convergence / Suite bornée / Suite stationnaire / Limite / Théorème des valeurs intermédiaires / Fonction croissante
Partie 2 – ( 7 exercices ): Limite / Suite / Suite récurrente

Extrait :

Exercices Analyse – Suites + Correction | Convergence – Fonction croissante

1 Convergence
Exercice 1
Montrer que toute suite convergente est bornée.
Indication H
Exercice 2
Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est stationnaire à partir d’un certain rang.
Indication H
Exercice 3
Montrer que la suite définie par
{ u }_{ n }=(-1{ ) }^{ n }+\frac { 1 }{ n }
n’est pas convergente.
Indication H
Exercice 4
Soit une suite de ℝ. Que pensez-vous des propositions suivantes :
 Si ({ u }_{ n }{ ) }_{ n } converge vers un réel ` alors ({ u }_{ 2n }{ ) }_{ n } et ({ u }_{ 2n+1 }{ ) }_{ n } convergent vers `.
 Si ({ u }_{ 2n }{ ) }_{ n } et ({ u }_{ 2n+1 }{ ) }_{ n } sont convergentes, il en est de même de (un)n.
 Si ({ u }_{ 2n }{ ) }_{ n } et ({ u }_{ 2n+1 }{ ) }_{ n } sont convergentes, de même limite `, il en est de même de ({ u }_{ n }{ ) }_{ n }.
Indication H
Exercice 5
Soit q un entier au moins égal à 2. Pour tout n ∈ N, on pose { u }_{ n }=cos\frac { 2n\pi }{ q }
1. montrer que { u }_{ n+q }={ u }_{ n } pour tout n ∈ N.
2. Calculer { u }_{ nq } et { u }_{ nq+1 }. En déduire que la suite { u }_{ n } n’a pas de limite.
Indication H
Exercice 6
Soit { H }_{ n }=1+\frac { 1 }{ 2 } +...+\frac { 1 }{ n }
1. En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n > 0 :
\frac { 1 }{ n+1 } \le ln(n+1)-ln(n)\le \frac { 1 }{ n }
2. En déduire que ln(n+1)\le { H }_{ n }\le ln(n)+1.
3. Déterminer la limite de { H }_{ n }.
4. Montrer que { u }_{ n }={ H }_{ n }-ln(n) est décroissante et positive.
5. Conclusion ?
1
Indication H
Exercice 7
On considère la fonction f : définie par
f(x)=\frac { { x }^{ 3 } }{ 9 } +\frac { 2x }{ 3 } +\frac { 1 }{ 9 }
et on définit la suite ({ x }_{ n }{ ) }_{ n\ge 0 } en posant { x }_{ 0 }=0 et { x }_{ n+1 }=f({ x }_{ n }) pour n ∈ ℕ.
1. Montrer que l’équation { x }^{ 3 }-3x+1=0 possède une solution unique \alpha ∈ ]0,1/2[.
2. Montrer que l’équation f(x) = x est équivalente à l’équation { x }^{ 3 }-3x+1=0 et en déduire que a est
l’unique solution de l’équation f(x) = x dans l’intervalle [0,1/2]:
3. Montrer que et que la fonction f est croissante sur En déduire que la suite { (x }_{ n }) est
croissante.
4. Montrer que et en déduire que pour tout
5. Montrer que la suite converge vers

Aperçu :

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Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants
des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des
enseignants du supérieur.

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