Partiel Analyse – 2007 – N°3 – Niveau L1

Thèmes :

Exercice 1: Suites / Dénombrement / Suite réelle récurrente linéaire d’ordre 2
Exercice 2: Étude de Fonction / Bijection / Dérivabilité
Exercice 3: Problème sur les cordes universelles

Extrait :

Exercice 1
Démonstration par récurrence
On rappelle que si (U_n) est une suite réelle récurrente linéaire d’ordre 2 définie par le système suivant.
Et si l’équation caractéristique associée x²-ax-b=0 admet deux racines réelles distinctes x_1 et x_2 alors il existe des réels alpha et bêta tel l’équation suivante soit vérifiée.

Exercice 2
Établir le tableau variation de f.
Montrer que f bijection de R^+ dans R^+
Tracer le graphe de f en faisant figurer la tangente à l’origine sur chacun des graphes. Donner dans chaque cas l’équation de cette tangente.
Soit g la fonction réciproque de f.
Déterminer le tableau de variations de g.
Justice la dérivabilité de en tout point x>0 et exprimer la dérivée de g en fonction de g.
Montrer que g est dérivable en 0.

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