Examen Analyse + Correction – 2009 – N°1 – Niveau L1

Thèmes :

Exercice 1: Système linéaire / Système régulier / Système homogène
Exercice 2: Développement limité / Voisinage
Exercice 3: Étude de fonction / Domaine de définition / Limites / Dérivée / Point d’inflexion
Exercice 4: Équation différentielle
Exercice 5: Différentielle
Exercice 6: Intégrale

Extrait :

Systèmes linéaires

I.1 Ecrire ce système sous forme matricielle de la forme MX=B. Quelles sont les expressions de X et B ?
Soit le système linéaire complexe suivant

I.2 Le système est-il régulier, homogène ? Justifier.

I.3 Discuter l’existence ou non de solution(s). Le cas échéant, calculer la (ou les) solution(s) du système.

II.

Développement limité
Soit une fonction f définie pour x réel :

II.1 Rappeler le développement limité (DL) d’une fonction h(x) à l’ordre n au voisinage de xo=0.
II.2 Donner le DL de la fonction au voisinage de xo=0 à l’ordre 2.
II.3 Calculer le DL de la fonction f(x) au voisinage de xo=0 aussi à l’ordre 2.




Etude de fonction

On se propose d’étudier la fonction :
On résoudra les étapes suivantes :

III.1 Domaine de définition de f
III.2 Limites de f aux bornes de son intervalle de définition
III.3 Dérivée première
III.4 Extrema de f
III.5 Dérivée seconde
III.6 Points d’inflexion de f
III.7 Tableau de variations
III.8 Graphe de f

IV.Equation différentielle

On observe l’évolution de la densité N d’un système complexe de molécules données par l’équation différentielle suivante

IV.1 Résoudre cette équation différentielle.
IV.2 Trouver la valeur des constantes obtenues à la question précédente, sachant que

Différentielle
V.1 Les formes différentielles suivantes, sont-elles des différentielles totales ?

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