Exercices + Corrections Algèbre – Applications linéaires – Niveau L1

Thèmes :

Partie 1 – ( 2 exercices ): /
Partie 2 – ( 6 exercices ): / / / / / Application linéaire
Partie 3 – ( 4 exercices ): Injectivité / Surjectivité / / Vecteur / Application linéaire / Bijective / / /
Partie 4 – ( 2 exercices ): Espace vectoriel / / / Image / Noyau

Extrait :

Applications linéaires

Exercice 1. Déterminer si les applications suivantes (de Ei dans Fi ) sont linéaires.
Exercice 2. Soit E un espace vectoriel de dimension n et une application linéaire de E dans lui-même telle que. Soit x appartenant à E tel que. Montrer que la famille est une base de E.

Image et noyau

Exercice 3. E1 et E2 étant deux sous-espaces vectoriels de dimensions finies d’un espace vectoriel E, on défnit l’application f : E1 × E2 ? E par f(x1,x2 )=x1 + x2 .
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer le noyau et l’image de f.
3. Appliquer le théorème du rang.

Exercice 4. Soient E un espace vectoriel et f une application linéaire de E dans E. On suppose que Ker (f)n Im (f) = {0}. Montrer que, si x appartient à Ker (f) alors, pour tout n de N.

Exercice 5. Soient E un espace vectoriel de dimension n et f une application linéaire de E dans lui-même. Montrer que les deux assertions qui suivent sont équivalentes.
1. Ker(f) = im(f).
Exercice 6. Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f o g = g o f . Montrer que ker(f ) et Im(f) sont stables par g.
Exercice 7. Soit f de L(E). Montrer que.
Exercice 8. Donner des exemples d’applications linéaires de R2 dans R2 e véri?ant:
1. Ker(f) = Im(f ).
2. Ker(f) inclus strictement dans Im(f).
3. Im(f) inclus strictement dans Ker(f).

Injectivité, surjectivité, isomorphie

Exercice 9. Soit E un espace vectoriel de dimension 3, {e1 , e2 , e3 } une base de E, et un paramètre réel. f(e1 ) = e1 + e2 , f(e2 ) = e1 – e2 définit une application, montrer que la donnée de f(e3 ) = e1 + e3 est linéaire de E dans E. Ecrire le transformé du vecteur x = a1 e1 +a2 e2 +a3 e3. Comment choisir t pour que f soit injective et surjective ?

Exercice 10.
1. Dire si les applications fi, pour i allant de 1 à 6, sont linéaires.

2. Pour les applications linéaires trouvées ci-dessus, déterminer ker(fi) et Im (fi), en déduire si fi est injective, surjective, bijective.

Exercice 11. Soient E = Cn [X] et A et B deux polynômes à coefficients complexes de degré (n + 1). On considère l’application f qui à tout polynôme P de E, associe le reste de la division euclidienne de AP par B.

1. Montrer que f est un endomorphisme de E.
2. Montrer l’équivalence f est bijective si et seulement si A et B sont premiers entre eux.

Exercice 12. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et f une application linéaire de E dans F.
Montrer que f est un isomorphisme si et seulement si l’image par f de toute base de E est une base de F .

Exercices + Corrections Algèbre – Applications linéaires – Niveau L1

Téléchargement :

Énoncés et corrections d'exercices

Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des enseignants du supérieur.

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Actuellement, il y a 30 commentaires pour: “Exercices + Corrections Algèbre – Applications linéaires – Niveau L1”

  • Vous êtes les meilleurs pour moi.
    Merci infiniment




    Rachid le 30 juin 2009
  • @Rachid: Merci beaucoup pour votre soutien.
    N’hésitez pas à scanner vos examens et à nous les envoyer via le formulaire ( présent dans le menu en haut de page), vous participerai ainsi à l’évolution de ce site internet.




    kvf300 le 1 juillet 2009
  • Félicitations et merci beaucoup pour votre soutien ;)




    Manel khelil le 4 avril 2010
  • Bonsoir.
    Juste pour vous dire toutes mes félicitations et tous mes encouragements au vu de tout ce que vous faîtes.
    Par contre, pensez à diversifier vos offres sur d’autres domaines: Analyse, Informatique …
    Très respectueusement.
    Soule




    Soule le 13 mai 2010
  • Je vous remercie et prends en compte votre remarque et tacherai dans les mises à jours futures de diversifier mes publications.




    kvf300 le 13 mai 2010
  • Je viens de découvrir votre site, dorénavant j’essayerai de vous scanner mes épreuves.




    Nelly le 6 juin 2010
  • Très beau site !




    Raymond le 5 février 2011
  • :)




    Rekik mohamed le 3 avril 2011
  • Je vous remercie et prends en compte votre remarque.




    Rekik mohamed le 3 avril 2011
  • Merci beaucoup.




    Kawtar le 2 juin 2011
  • Je voudrais des exercices corrigés sur les applications linéaires.




    Bouguetaia le 5 janvier 2012
  • :wink: Merci beaucoup




    Khaoula le 25 mars 2012
  • Bonjour. J’aurai des questions:

    1) Soit R4[x]l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur à 5. Montrer que l’application f de R4[x]dans lui même, définie par f(p)=p-p’ est linéaire.
    2) L’application f est- elle injective ? surjective?




    Rima le 29 mars 2012
  • Merci beaucoup




    Rima le 29 mars 2012
  • Soit E le sous espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs u=(1,0,0) et v=(1,1,1). Trouver un endomorphisme f de R3 dont le noyau est E .




    Phillipe le 17 avril 2012
  • J’aime beaucoup ce site, il est très intéressant. Merci !




    Nancy le 13 mai 2012
  • Votre site est très intéressant. Merci beaucoup. S’il vous plait j’ai besoin d’exercices sur les espace vectoriels.




    Souma le 13 octobre 2012
  • Ceci devrait te plaire: http://www.licencedemathematiques.com/tag/espace-vectoriel/




    Erwin le 15 octobre 2012
  • Si tu as des questions tu peux les poser sur le forum: http://www.licencedemathematiques.com/forum/




    Erwin le 17 octobre 2012
  • Si tu as des questions, tu peux les poser sur le forum du site: http://www.licencedemathematiques.com/forum/




    Erwin le 17 octobre 2012
  • Merci beaucoup !




    Morad chamhi le 19 octobre 2012
  • Merci pour votre bienveillance générosité.




    Mondesir le 23 novembre 2012
  • Merci beaucoup !




    Youssouf mahamat abakar le 9 mai 2013
  • :-D Vous êtes excellent !




    Chouaib le 16 septembre 2013
  • Salut. Je cherche un cours sur les points d’accumulation et d’adhérence.




    Jojo le 20 décembre 2013
  • Bonjour Erwin. Comment faire lorsque l’on ne comprend son cours ?




    Hervé le 30 décembre 2013
  • Ceci pourra t’aider: Cours de topologie




    Erwin le 9 février 2014
  • Dans un premier temps tu dois poser tes questions à ton professeur en cours et ensuite tu dois t’entraîner régulièrement chez toi en faisant des exercices et des examens.




    Erwin le 9 février 2014
  • Bonjour, je viens de découvrir le site. C’est un jolie site vous savez. J’aimerais approfondir mes connaissances sur les applications linéaires.




    Luccia le 23 mai 2014

Si vous avez des questions, n'hésitez pas:

:wink: :-| :-x :twisted: :) 8-O :( :roll: :-P :oops: :-o :mrgreen: :lol: :idea: :-D :evil: :cry: 8) :arrow: :-? :?: :!: