Partiel Séries-Intégrations | Convergence - Formule de Wallis

Thèmes :

Exercice 1: Nature des Séries
Exercice 2: Convergence / Formule de Wallis / Suite

Extrait :

Partiel Séries-Intégrations | Convergence – Formule de Wallis

Exercice 1. Etudier la nature de la série de terme général :
(1) ${ u }_{ n }=\frac { { n }^{ 2 }-3 }{ \sqrt { (n-1)! } } (n\ge 1)$
(2) ${ u }_{ n }=e-(1+\frac { 1 }{ n } { ) }^{ n }$
(3) ${ u }_{ n }={ \left( \frac { { n }^{ 2 }+3n }{ 3{ n }^{ 2 }\div 1 } \right) }^{ (lnn{ ) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }$
(4) ${ u }_{ n }=(lnn{ ) }^{ alnn },a\in$ ℝ
(5) ${ u }_{ n }=(-1{ ) }^{ n }exp\left( -\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k } } \right)$
(6) ${ u }_{ n }=(-1{ ) }^{ n }cos\frac { 1 }{ n }$
Exercice 2. Pour tout; entier n > 0, on pose
${ u }_{ n }=\frac { n!{ e }^{ n } }{ { n }^{ n }+\frac { 1 }{ 2 } }$ et ${ u }_{ n }=ln{ u }_{ n }$

1. Etudier la série de terme général ${ w }_{ n }$ où
, pour $n\ge 2$ , ${ w }_{ n }={ u }_{ n }-{ v }_{ n-1 }$ eh ${ w }_{ 1 }={ v }_{ 1 }$
2. En déduire, en utilisant la convergence de la suite des sommes partielles de ${ w }_{ n }$ , que la suite ${ u }_{ n }$ converge
vers λ > 0

3. Déterminer λ en utilisant la. formule de Wallis :
$\lim _{ n\rightarrow +\infty }{ \frac { { 2 }^{ 2n }(n!{ ) }^{ 2 } }{ \sqrt { n } (2n)! } } =\sqrt { n }$
Indication. Exprimer n! (respectivement. (2n)!) en fonction de ${ u }_{ n }$ (respectivement de ${ u }_{ 2n }$ ) et remplacer—les
dans la formule de Wallis.
4. En déduire un équivalent de n!.

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