Examen Analyse | Formule d'Euler - Etude de fonction

Thèmes :

Exercice 1: Résolution d’une équation dans le corps des complexes.
Exercice 2: Étude de fonction.
Exercice 3: Problème / Formules d’Euler
Exercice 4: Étude de fonction hyperbolique.

Extrait :

Examen Analyse | Formule d’Euler – Etude de fonction

Exercice 1 : 5 pts
1. Résoudre dans ℝ l’équation ${ z }^{ 3 }-2{ z }^{ 2 }-iz+3-i=0$ sachant que l’une des solutions est réelle.
2. Montrer que les solutions sont affixes des sommets d’un triangle rectangle isocèle.
Exercice 2 : 5 pts
1. On considère la fonction $g:x\longmapsto 2x\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } }$ . Déterminer son ensemble de définition puis établir son tableau de variations. Préciser les extrema de g sur son ensemble de définition.
2. Déduire du 1. l’ensemble de définition de $f:x\longmapsto arcsin(2\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } )$
3. Déterminer l’ensemble des points où f est dérivable. En ces points, montrer que
${ f }^{ ' }(x)=\frac { 2(1-2{ x }^{ 2 }) }{ |1-2{ x }^{ 2 }| } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } }$
4. Calculer $f(sin(\frac { 2\pi }{ 7 } ))$
Exercice 3 : 5 pts
1. Rappeler les formules d’Euler.
2. Soit α et βdeux nombres réels et $a={ e }^{ i\alpha }$ et $b={ e }^{ i\beta }$ . Mettre le nombre complexe z = a + b sous forme trigonométrique.
Indication : on pourra poser $u=\frac { \alpha +\beta }{ 2 }$ et $v=\frac { \alpha -\beta }{ 2 }$
3. Ecrire $cos(k\alpha +(n-k)\beta )$ en fonction de . Puis simplifier et a
Exercice 4 : 5 pts
Pour a ∈ ℝ soit, ${ f }_{ a }$ la fonction définie par ${ f }_{ a }(x)$
1. Quel est le domaine de définition ${ D }_{ a }$ de la fonction ${ f }_{ a }$ ?
1
2. Montrer que ${ f }_{ a }$ est dérivable sur ${ D }_{ a }$ et que : ∀x∈ ${ D }_{ a }$ , $({ f }_{ a }-arctan{ ) }^{ ' }(x)=0$
3. Déterminer $\lim _{ x\longrightarrow +\infty }{ { f }_{ a } } (x)$ et $\lim _{ x\longrightarrow -\infty }{ { f }_{ a } } (x)$
4. Déduire des résultats précédents, une expression plus simple de a f sur
(distinguer suivant les intervalles).