Algèbre Exercices

Exercices Algèbre – Nombres complexes + Correction | affixe – Argument

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Thèmes :

Partie 1 – ( 8 exercices ): Forme cartésienne / Forme polaire / Nombre complexe / Module / Argument / Conjugué / Forme trigonométrique
Partie 2 – ( 6 exercices ): Équation du second degré / Racines / Solutions
Partie 3 – ( 6 exercices ): Racine n-ième / Forme algébrique / Forme trigonométrique
Partie 4 – ( 6 exercices ): Géométrie / Triangle équilatéral / Pentagone régulier / Affixe / Cercle
Partie 5 – ( 2 exercices ): Trigonométrie
Partie 6 – ( 2 exercices ): Division euclidienne / Équation

Extrait :

Exercices Algèbre – Nombres complexes + Correction | affixe – Argument

1 Forme cart´esienne, forme polaire
Exercice 1. Mettre sous la forme a + ib (a, b ∈ R) les nombres :
\frac { 3+6i }{ 3-4i };
(\frac { 1+i }{ 2-i } { ) }^{ 2 }+\frac { 3+6i }{ 3-4i };
\frac { 2+5i }{ 3-4i } +\frac { 2+5i }{ 1-i }
Exercice 2. ´Ecrire sous la forme a + ib les nombres complexes suivants :
1. Nombre de module 2 et d’argument \pi \diagup 3.
2. Nombre de module 3 et d’argument −\pi \diagup 8.
Exercice 3. Effectuer les calculs suivants :
1. (3 + 2i)(1 − 3i).
2. Produit du nombre complexe de module 2 et d’argument \pi \diagup 3 par le
nombre complexe de module 3 et d’argument – 5\pi \diagup 6.
3. \frac { 3+2i }{ 1-3i } .
4. Quotient du nombre complexe de module 2 et d’argument \pi \diagup 3 par le
nombre complexe de module 3 et d’argument − 5\pi \diagup 6.
Exercice 4. ´Etablir les ´egalit´es suivantes :
1. (cos(\pi /7)+isin(\pi /7))(\frac { 1-i\sqrt { 3 } }{ 2 } )(1+i)=\sqrt { 2 } (cos(5\pi /84)+isin(5\pi /84))
2(cos(5/84) + i sin(5/84)),
2. (1-i)(cos(\pi /5))(\sqrt { 3 } -1)=2\sqrt { 2 } (cos(13\pi /60)-isin(13\pi /60))
2(cos(13/60)−i sin(13/60)),
3.
\frac { \sqrt { 2 } (cos(\pi /12)+isin(\pi /12)) }{ 1+i } =\frac { \sqrt { 3 } -i }{ 2 }
Exercice 5. Calculer le module et l’argument de \frac { \sqrt { 2 } (cos(\pi /12)+isin(\pi /12)) }{ 1+i } =\frac { \sqrt { 3 } -i }{ 2 } et v = 1 − i.
En d´eduire le module et l’argument de w=\frac { u }{ v }
Exercice 6. D´eterminer le module et l’argument des nombres complexes :
et { e }^{ i\theta }+{ e }^{ 2i\theta }
Exercice 7. Soit z un nombre complexe de module ρ, d’argument θ, et soit
z son conjugu´e. Calculer (z+\bar { z } )({ z }^{ 2 }+{ \bar { z } }^{ 2 })...({ z }^{ n }+{ \bar { z } }^{ n }) en fonction de ρ et θ.
Exercice 8. Mettre sous forme trigonom´etrique 1+{ e }^{ i\theta } o`u θ ∈ ]-\pi ,\pi [. Donner
une interpr´etation g´eom´etrique.
2 Racines carr´ees, ´equation du second degr´e
Exercice 9. Calculer les racines carr´ees de 1, i, 3 + 4i, 8 − 6i, et 7 + 24i.
Exercice 10. Trouver les racines carr´ees de 3 − 4i et de 24 − 10i.
Exercice 11. 1. Calculer les racines carr´ees de \frac { 1+i }{ \sqrt { 2 } }
. En d´eduire les valeurs
de cos(\pi /8) et sin(\pi /8).
2. Calculer les valeurs de cos(\pi /12) et sin(\pi /12).
Exercice 12. Montrer que les solutions de a{ z }^{ 2 }+bz+c=0 avec a, b, c r´eels,
sont r´eelles ou conjugu´ees.
Exercice 13. R´esoudre dans ℂ les ´equations suivantes :
^{ 2 }+z+1=0 ; { z }^{ 2 }-(1+2i)z+i-1=0 ; { z }^{ 2 }-\sqrt { 3z } -i=0;
{ z }^{ 2 }-(5-14i)z-2(5i+12)=0; { z }^{ 2 }-(3-4i)z-1+5i=0 ; { 4z }^{ 2 }-2z+1=0 ;
{ z }^{ 4 }+10{ z }^{ 2 }+169=0; { z }^{ 4 }+2{ z }^{ 2 }+4=0.
Exercice 14. R´esoudre dans ℂ les ´equations suivantes :
1. { z }^{ 4 }-(11-5i)z+24-27i=0.
2. { z }^{ 3 }+3z+2i=0.
3 Racine n-i`eme
Exercice 15. R´esoudre dans ℂ l’´equation { z }^{ 3 }=\frac { 1 }{ 4 } (-1+i) et montrer qu’une
seule de ses solutions a une puissance quatri`eme r´eelle.
Exercice 16. Trouver les racines cubiques de 2 − 2i et de 11 + 2i.
Exercice 17. Calculer
\frac { \frac { 1+i\sqrt { 3 } }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 2 } (1+i) }{ 2 } }
alg´ebriquement, puis trigonom´etriquement.
En d´eduire cos(\pi /12) , sin(\pi /12) , tan(\pi /12) , tan(5\pi /12) . R´esoudre dans ℂ l’´equation { z }^{ 24 }=1.

Aperçu :

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Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des enseignants du supérieur.

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