Algèbre Examens / Partiels

Examen Algèbre | Endomorphisme – Matrice de passage

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Thèmes :

Exercice 1: Inclusion / Intersection / Réunions / Injection / Application
Exercice 2: Décomposition en éléments simples
Exercice 3: Espace vectoriel / Matrices / Bases
Exercice 4: Endomorphisme / Base canonique / Matrices

Extrait :

Examen Algèbre | Endomorphisme – Matrice de passage

Exercice (5 points)
Soient A et B deux parties d’un ensemble E, U et V deux parties d’un ensemble F et f une application de E dans F.
1) Montrer que :
a) Si U ⊂ v alors f⁻¹(U) ⊂ f⁻¹(v).
b) f⁻¹(U ∪ V) = f⁻¹(U) ∪ f⁻¹(v).
c) f⁻¹(U ∩ V) = f⁻¹(U) ∩ f⁻¹(v).
d) { f }^{ -1 }({ C }_{ F }U)={ C }_{ E }({ f }^{ -1 }(U)), où { C }_{ Y } X désigne le complémentaire de X dans Y.
2) Montrer que si f est injective alors f (A ∩ B) = f (A) ∩ f(B).

Exercice 2 (4 points)

Décomposer en éléments simples, dans ℝ(X), la fraction rationnelle A(X) = \frac { { \left( { X }^{ 2 }-1 \right) }^{ 2 }-X }{ X{ \left( { X }^{ 2 }+1 \right) }^{ 3 } }
Exercice 3 (5 points)

Soit E l’espace vectoriel sur ℝ des matrices carrées d’ordre 2 à coefficient réels.

On pose A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
1) Donner une base de E. Quelle est la dimension de E ?
2) Soit M = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} un élément de E. Calculer les produits AM et MA.

3) On note F l’ensemble des matrices M de E telles que AM = MA. Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E. Donner une base de F. Quelle est la dimension de F ?

4) On pose { B }_{ \lambda }=\begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 4 & \lambda \end{pmatrix} avec λ ∈ ℝ. Déterminer en fonction du paramètre λ l’ensemble des
matrices M ∈ E telles que AM — MA = { B }_{ \lambda }

Exercice 4 (6 points)
Soit (φ l’endomorphisme de ℝ³ muni de sa base canonique B = {e₁, e₂, e₃}, défini par :
φ(e₁) = 5e₁ + e₂ + 2e₃ ; φ(e₂) = 3e₁ + 3e₂ + 2e₃ ; φ(e₃) = 3e₁ – e₂ + 6e₃

1) Donner la matrice A de φ dans la base canonique B de ℝ³.

2) Soient les vecteurs de ℝ³ : u = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix} \right) et v = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) et w = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) (coordonnées dans la base canonique). Montrer que B’ = {u, v, w) est une base de ℝ³ Donner la matrice de passage P de B a B‘. Calculer son inverse P⁻¹. Calculer la matrice A′ de φ dans B′ et sa puissance { A }^{ m }
En déduire { A }^{ n }
3) Application : on donne les trois suites réelles ( { r }_{ n } ), ( { s }_{ n } ) et ( { t }_{ n }) définies par les relations de

récurrence
Montrer que si on pose { R }_{ n }=\left( \begin{matrix} { r }_{ n } \\ { s }_{ n } \\ { t }_{ n } \end{matrix} \right) alors { R }_{ n-1 } et en déduire que { R }_{ n }={ A }^{ n }{ R }_{ 0 }
Utiliser le calcul de { A }^{ n } pour calculer les termes généraux de { r }_{ n },{ s }_{ n }\quad et\quad { t }_{ n }

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