licence de mathématiques Comment décrocher son diplome

Partiel Algèbre linéaire | Espace vectoriel – Somme directe

Thèmes:

Exercice 1: / / / / / Noyau / Image
Exercice 2: Sous espace vectoriel / Dimension /
Exercice 3: Sous espace vectoriel / Somme direct / / Somme directe
Exercice 4: Espace vectoriel / Dimension / Application linéaire /
Exercice 5: Application / 2 / infinie
Exercice 6: Fonctions continues / Application / Norme

Extrait:

Exercice 1
Soit E l’espace vectoriel des polynomes à coefficients réels de degré et f l’application de E dans E définie par f (P ) = P + (1 − X )P′ où P′ est le polynôme dérivé de P.
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer le noyau de l’application f
3. Donner les dimensions du noyau et de l’image de l’application f .

Exercice 2
Dans l’espace R4 , soit F = {(x, y, z, t) ∈ R4 , x = 2y = −z = t} et G = {(x, y, z, t) ∈ R4 , x + y − z − t = 0}.
1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R4.
2. Déterminer leur dimension.
3. Montrer que R4 = F + G.

Exercice 3
Dans l’espace R3
1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R3 et donner leur dimension.
2. Déterminer l’ensemble F inter G et en donner une base.
3. Déterminer une base {e1,e2,e3} de R3 telle que {e1,e2} soit une base de F et {e2 ,e3 } soit une base de G.
4. Montrer que R3 = F + G. Cette somme est-elle directe ? F = {(x, y, z ) ∈ R3 , x − y + 2z = 0} et G = {(x, y, z ) ∈ R3 , 2x + y + z = 0}.

Exercice 4
Soit E un espace vectoriel de dimension n et f une application linéaire de E dans lui-même telle que f_n = 0 et f_{n−1} = 0 où l’application f_j est définie de proche en proche par f 0 (x) = x et f j +1(x) = f (f j (x)) pour tout x ∈ E et tout entier j. Soit e appartenant à E tel que f n−1 (e) = 0.
Montrer que la famille {f j (e); j = 0, . . . , n − 1} est une base de E .

Exercice 5

Montrer que les applications dans Rn on a et sont des normes sur Rn et que pour tout x

Exercice 6
Pour f dans l’espace C des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs réelles on pose

1. Montrer que les applications f dans C on a et sont des normes sur C et que pour tout. Pour chaque entier naturel k , soit fk la fonction de C définie sur [0, 1] par fk (x) = xk . Calculer fk 2 et fk pour chaque k .
3. En d´ eduire qu’il n’existe pas de constante r´ eelle c telle que f pour toute fonction f de C

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Sujet d'examen

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Actuellement, il y a 1 commentaire pour: “Partiel Algèbre linéaire | Espace vectoriel – Somme directe”

  • Merci infinement pour tout. Disons que j’ai commencé à mettre en application il y a 2 jours et je ne saurais te dire combien je me sens à l’aise de le faire. En plus je suis sur que ça marchera. Merci vraiment pour tes conseils Erwin.




    Claude le 12 janvier 2014

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