Examens / Partiels Topologie

Partiel Topologie | Adhérence – Application continue

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Thèmes :

Question de cours : Fermé / Voisinage / Intérieur / Adhérence / Application continue / Homéomorphisme
Exercice 1 : Connexe / Intérieur / Complémentaire / Frontière
Exercice 2 : Connexe / Espace topologique
Exercice 3 : Espace topologique / Intérieur / Adhérence / Intersection / Réunion
Problème : Espace métrique / Distance ultramétrique / Boule ouverte / Boule fermée

Extrait :

Partiel Topologie | Adhérence – Application continue

Questions de cours
Soient E et F deux espaces topologiques.

1. Donner la définition d’un fermé C de E.
2. Donner la définition d’un voisinage V d’un élément x ∈ E.
3. Donner la définition de P intérieur d’une partie A de E..
4. Donner la définition de P adhérence d’une partie B de E.
5. Donner la définition d’une application continue de E dans F.
6. Donner la définition d‘un homéomorphisme de E sur F.

Exercice 1.
Soient A et B deux parties de Fespace topologique E . On suppose que A
est connexe et rencontre à la fois P intérieur de B et l’intérieur du complémentaire de B
Montrer que A rencontre la frontière de B. (On pourra. faire une démonstra-

tion par Fabsurde.)

Exercice 2

Soit une famille de parties connexes de l’espace topologique E,
telle que, pour tout couple (i,j) ∈ I x I, { A }_{ i }\cap { A }_{ j }\neq \theta .
Montrer que la réunion est connexe.

Exercice 3
Soit E un espace topologique.

1. Soient A et B deux parties de E vérifiant A ⊂ B .
Montrer que \mathring { A } \subset \mathring { B } et que \bar { A } \subset \bar { B }
2. Soit une famille de parties de E.

(a) Montrer que
(b) Montrer que { \cup }_{ i\in I }{ \bar { A } }_{ I }\subset { \bar { { \cup }_{ I\in i }{ A }_{ i } } }
(c) Montrer que lorsque l’ensemble des indices I est fini, ces inclusions
sont en fait des égalités.

3. Avec les mêmes notations, montrer queet que
nier
Problème
Soit E un ensemble muni d’une application d: E x E —> vérifiant z.
1. Montrer que (E, d) est un espace métrique. On. dit que d est une dis—
tance ultramétrique.  » j
2. Prouver que si d(x,z) ≠ d(z,y), alors d(z,y) = max(d(x,z), d(z,y)
3. Montrer que toute boule ouverte { B }_{ f } avec r > 0 est un ensemble à la fois ouvert et fermé.
4. De même, montrer que toute boule fermée { B }_{ f } = B(y,r) avec r > 0 est à la fois ouverte et fermée.
5. Soit y dans B(z,r), montrer que B(…

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