Examens / Partiels Géométrie Affine et Euclidienne

Partiel Géométrie | 3 espace affine – 3 espace affine euclidien

Thèmes :

Questions de cours : Barycentre / Isométrie / Plan vectoriel / Plan affine / 3 espace vectoriel / 3 espace affine
Exercice 1 : Plan euclidien / Droites orthogonales / Composée / Homothétie / Translation / Vecteur
Exercice 2 : 3 espace affine euclidien / Tétraèdre / Droites orthogonales / Isométrie / Isobarycentre / Rotation / Centre / Angle / Axe / Symétrie / Plan symétrique / Antirotation

Extrait :

Partiel Géométrie | 3 espace affine – 3 espace affine euclidien

TEST
Enoncer des caractérisations du barycentre. Vérifier que :
Déduire de 2) l’existence et l’unicité du barycentre.
Quelles-sont les isométries : du plan vectoriel ? du plan affine ?
du 3-espace vectoriel ? du 3-espace affine ?

PARTIEL
I) On considère un plan euclidien P, 2 droites (H) et (V) orthogonales de P,
(W) une parallèle a (V) distincte de (V), {0}= (H) n (V), {P}= (H) n (W), S
A e (V) et B e (W) tels que [A, B] n (H) = E, et S symétrique deA par rapport 5 (H).

1) Montrer que la composée k o h des homothéties h envoyant A sur P et 0 sur B, et
k envoyant P sur o et B sur S, est une translation et déterminer son vecteur ; en déduire que la
droite passant par les centres d’homothétie R et Q de h et krespectivement est paralléle £1(V).
2) On munit P d’un repère (0,(\bar { i } ,\bar { j } )) vérifiant \bar { i } \epsilon \quad \bar { H } et \bar { j } \epsilon \quad \bar { V } . Exprimer les coordonnées
de R et Q en fonction de l’ordonnée a de A et des coordonnées de B=({ b }_{ 1 },{ b }_{ 2 })
1]) On considére un 3-espace affine euclidien E et un tétraédre T= (A, B, C, D) C P.
On dit que T est régulier lorsque les 6 arétes ont méme longueur.

A) On note M le milieu dé CD ; l_.,. n
1) Vérifier que $latex A{ C }^{ 2 }-A{ D }^{ 2 }=2$ et $latex B{ C }^{ 2 }-B{ D }^{ 2 }=2$
2) Déduire de 1) que (AB)\bot (CD) si et seulement si A{ C }^{ 2 }+B{ D }^{ 2 }+A{ D }^{ 2 }+B{ C }^{ 2 }
3) Montrer que: a) si ((AB)\bot (CD) et (BC)\bot (AD), alors (BD)\bot (AC);

b) si T est régulier, alors 2 arétes disjointes sont orthogonales.

B) On’ suppose T régulier; on note G 1’ensemble des isométries f de E vérifiant:
f({A, B, C, D}) = {A, B, C, D}, et 0 Pisobarycentre de A, B, C, D, et on pose, pourfe G,
F(f) = {N e {A, B, C, D} / f(N) = N}, et on note no’) le nombre d’éléments de F(f).
On appelle caractéristiques : d’une rotation, son angle et son axe, : d’une symétrie,

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