Equations Différentielles Examens / Partiels

Examen Equations Différentielles | Méthode d’Euler – Méthode des approximations successives

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Thèmes :

Exercice 1: Système différentielle / Solution maximale / Méthode d’Euler
Exercice 2: Équation différentielle / Solution maximale / Méthode des approximations successives

Extrait :

Examen Equations Différentielles | Méthode d’Euler – Méthode des approximations successives

Licence 3

Équations différentielles

Année 2008

1) On considère le système différentiel :

1. Montrer que par tout point (t₀, x₀, y₀) ∈ ℝ³ passe une solution maximale
{ \phi } et une seule. Montrer que cette solution est définie pour tout
t ∈ ℝ.

2. Calculer la solution { \phi }_{ 0 } qui passe par le point (0,1,1).

3. On cherche à approcher la solution { \phi }_{ 0 } par la méthode d’Euler. On fixe t > 0, n > 0 un entier, h = t/n. On applique la méthode d’Euler avec
le pas h. Calculer les coordonnées \left( { x }_{ n },{ y }_{ n } \right) du point atteint après n pas.

2) On considère l’équation différentielle :
\frac { dy }{ dt } = -2y + t.

1. Montrer que par tout point (t₀,y₀) ∈ ℝ² passe une solution maximale
{ \phi } et une seule. Montrer que cette solution est définie pour tout t ∈ ℝ.

2. Calculer la solution qui passe par y₀ pour t = 0.

3. Appliquer la méthode des approximations successives à ce problème de
Cauchy en partant de la fonction constante y₀(t) = y₀ : on calculera
y₁(t) et y₂(t)

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