Examen Calcul Intégral | Convergence – Intégrale impropre

Thèmes :

Exercice 1: Intégrable / Intégrale impropre / Convergence / Théorème de convergence dominée / Classe C1
Exercice 2: Intégrale / Série / Inégalité / Equivalence / Voisinage / Classe C1 / Variations

Extrait :

Exercice 1. On rappelle que la fonction sh est définie sur ℝ par sh
Soit f :]1, +∞[X]0, +∞[—> ℝ la fonction définie par

1. Montrer que, pour tout x > 1, la fonction t f(x,t) est intégrable sux
]0,+∞[.
2. Soit F :]1, +∞[—> ℝ la fonction définie par
F(x) = dt.
Soit une suite de ]1, +∞[ qui tend vers +∞.
(a) Est—ce que l’intégrale impropre dt converge?
(b) Justifier l’existence d’un entier ℕ tel que, pour tout n ≥ ℕ, on ait 2
(c) Montrer, à l’aide du théorème de convergence dominée, que
= 0
(d) En déduire la limite de F en +∞.
3. Montrer que F est de classe C¹ et calculer F’. En déduire une expression plus
simple de F.

Exercice 2. 1. Montrer que la fonction dt est définie sur 0 ]0,+∞[.
2. Montrer que, pour tout t ∈ ℝ₊, |sint| ≤ t.
3. Calculer dt
4. Montrer que, pour tout x > 0, on a. . Indication. On pensera à écrire, pour x > O et t > 0, comme la somme d‘une série.
. Montrer que, pour tout x > 0, on a.

6. Calculer, pour x > 0,
7. En déduire que F(x) ~ au voisinage de 0⁺.
8. Montrer que F est de classe C¹ et donner une expression de F′(x) comme la
somme d’une série.
9.Déterminer la limite de F lorsque x tend vers ∞.
10.Etudier les variations de F.

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