Examen Calcul Intégral | Continuité – Convergence simple

Thèmes :

Exercice 1: Convergence simple / Suite de fonctions / Convergence uniforme
Exercice 2: Intégrales impropres
Exercice 3: Intégrabilité / Continuité / Classe C1 / Limite / Théorème de convergence dominée / Théorème de convergence monotone

Extrait :

Exercice 1 Etudier la convergence simple et la convergence sur ℝ₊ de la suite
de fonctions définie par

Est-ce que la convergence est uniforme sur ℝ₊ sur un segment [a, b] inclus dans

Exercice 2. Etudier les intégrales impropres suivantes :

(1) dx, (2) dt, α ∈ ℝ

Exercice 3. Soit f la fonction définie sur ℝ₊ X ℝ₊ par

1. Montrer que, pour tout x ∈ ℝ₊, la fonction t f(x,t) est intégrable sur ℝ₊
Montrer que la fonction F définie sur ℝ₊ par
dt
est continue sur ℝ₊
3. Calculer F(0) et F(1).
4 Montrer que F est de classe C¹ sur ]0,+∞[ et calculer F’(x) pour x ∈ ]0, +∞[.
5 Montrer que, pour tout x ∈ ]O, +∞[,

En déduire que
6. Eu déduire la valeur de ds
7. Montrer que la limite de F en +∞ est . (On pensera à utiliser le théorème convergence dominée).

8. Montrer, à l’aide du théorème de convergence monotone, que

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