Examen Calcul Intégral | Classe d’une fonction – Continuité

Thèmes :

Exercice 1: Convergence simple / Série / Continuité / Convergence uniforme / Limite / Classe C1
Exercice 2: Convergence simple / Fonction décroissante / Fonction intégrable / Limite
Exercice 3: Domaine de définition / Continuité / Classe C1 / Limite
Exercice 4: Fonction intégrable

Extrait :

Exercice 1. Pour chaque entier n ∈ ℕ*, on définit la fonction ℝ par

1. Montrer que la série de fonctions converge simplement sur ℝ₊

2. Soit f la somme de la série de fonctions . Montrer que f est continue sur ℝ₊
3. Montrer que la série de fonctions ne converge pas uniformément sur ℝ₊

4. Déterminer la Limite de f en 0.

5. Montrer que f et de classe C¹ sur ℝ₊

Exercice 2. Pour chaque entier n ∈ ℕ*, on définit la fonction par

1. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions .

2. Soit x ∈ ]0,1]. Montrer que la fonction g : [1,+∞[ ℝ, est croissant.En déduire que la suite de fonctions est décroissante.

3. En déduire que, pan: tout entier n ∈ ℕ*, la fonction . est intégrable sur ]0, 1].
4. Déterminer dt.

Exercice 3. On définit une fonction dt
1. Déterminer le domaines de définition de F.
2. Montrer que F est continue.
3. Montrer que F et classe C¹ sur ]0,+∞[.
4. Montrer que, pour tout x > 0, on a 0 ≤ F(x) ≤ En déduire

Exercice 4. Soit 3 > 1 et soit f la fonction définie sur ]0,+∞[ par
1. Montrer que la fonction f est intégrable sur ]0,+∞[.
2. Ecrire f sous la forme sont des fonctions intégrable sur ]0,+∞[.

3. Montrer que

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