Partiel Calcul intégral | Comparaison série intégrale – Continuité

Thèmes :

Exercice 1 : Suite de fonctions / Convergence uniforme / Convergence simple
Exercice 2 : Série de fonctions / Convergence simple / Convergence normale / Reste / Convergence uniforme / Somme / Comparaison série intégrale / Continuité / Somme / Dérivabilité / Limite

Extrait :

Exercice 1. Soit une suite de fonctions de convergeant uniformément sur ℝ vers
une fonction continue.

1. Montrer que si est une suite d’éléments de ℝ convergeant vers un élément I ∈ ℝ alors
la suite converge vers

2. En déduire que converge simplement ℝ vers

Exercice 2. Soit ∝ un réel strictement positif. Pour tout entier on considère l’application de [0, +∞[ dans ℝ définie par
1. Montrer que la. série de fonctions converge simplement sur [0, +∞[.
(b,) Montrer que la série de fonctions converge normalement sur [0, +∞[ si et seulement si ∝ > 1/2.
(C) On suppose dans cette question que ∝ 1/2. Pour tout , on pose

1. Montrer que, pour tout x ∈ [0, +∞[ et tout

ii En déduire que la série de fonctions n’est pas uniformément convergente sur [0,a] où a. est un nombre réel stricte’ment positif.
2. On note S l’application de [0, +∞[ dans ℝ définie par
(a) Montrer que, pour tout ∝ > 0, S est continue sur ]0, +∞[.
(b) Montrer que, si ∝ > 1/2, alors S est continue sur [0, +∞[.
(C) On suppose dans cette question que . Soit un réel strictement positif.
i. En utilisant une comparaison série-intégrale, montrer que, pour tout entier On a
ii Calculer
iii. En déduire que S n’est pas continue en 0.
3. On suppose que ∝ = 1.
(a) Montrer que S est de classe sur
(b) Déterminer
(C) Montrer que (On pourra commencer par donner la limite de
en ). La fonction S est-elle dérivable en 0?

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