Calcul Différentiel Examens / Partiels

Examen Calcul Différentiel | Bilinéarité – Boule

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Thèmes :

Exercice 1: Espace vectoriel normé / Fonction différentiable / Voisinage / Différentiable en un point
Exercice 2: Application différentiable
Exercice 3: Espace vectoriel normé / Boule / Intérieur / Frontière
Exercice 4: Fonction linéaire / Fonction bilinéaire / Continuité / Normes usuelles / Linéarité / Bilinéarité / Norme de l’application

Extrait :

Examen Calcul Différentiel | Bilinéarité – Boule

A) On considère un espace vectoriel normé E, A ⊂ E, et a ∈ A.
1) Etant donné (c, k) e ℝ x ℝ⁺*, et g : I=] c— k, c + k [ —>ℝ dérivable en c, montrer que,

si est de signe constant, alors g'(c) = 0. Etudier la réciproque.
2) On considère v : A —> ℝ différentiable en a.
a) Montrer que, pour tout h ∈ E, l’application { g }_{ h }:t\mapsto v(a+th) ∈ ℝ est définie sur un
voisinage de 0 dans ℝ, et dérivable en 0 ; exprimer ({ g }_{ h }) ’(0) en fonction de h et { D }_{ a }v
b) Déduire de a) et 1) que, si, pour tout x ∈ A, v(x) ≥ v(a), alors { D }_{ a }v = 0
3) Etant donné F espace Vectoriel normé, f: A —> F vérifiant f(a) = 0, et v:x\mapsto ||f(x)||,
montrer que, lorsque A est voisinage de a dans E, on a l’équivalence des 6 propriétés :

i) v différentiable en a. ii) v différentiable en a et { D }_{ a }v = 0. iii) 0=\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { v(x) }{ ||x-a|| } }
iv) 0=\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { f(x) }{ ||x-a|| } } v) 0=\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { f(x) }{ ||x-a|| } } vi) f différentiable en a et { D }_{ a }f=0

B) 1) Pourquoi aucune application {0} = E —> F n’est-elle différentiable ?
2) a) Montrer qu’une application norme || || n’est jamais différentiable en 0.
b) Déterminer,pour quelles valeur de c ∈ ℝ, x\mapsto ||x|{ | }^{ c } est différentiable en 0.

C) Etant donné un espace vectoriel normé E ≠ {O}, (a, b) ∈ E², r > 0 et s > 0, montrer que 2
B(a,r)=B(b,s)\Rightarrow \ll a=b\quad et\quad r=s\gg { B }_{ f }(a,r)=Adh(B(a,r))\quad Int({ B }_{ f }(a,r))=B(a,r)

D) 1) Vérifier que f: E₁ x E₂ —> F est linéaire et bilinéaire si, et seulement si, f = 0.
2) a) Montrer que, étant donné t ∈ ℝ et f: E —> F linéaire, s’il existe a ∈ E* tel que
||f(a)||=t||a||. et si, pour tout x ∈ E, ||f(x)||\le t||x||, alors f est continue et ||f|| = t.
b)Expliciter l’implication analogue pour f : E₁ x E₂ ——> F application bilinéaire.

3) On considère un espace vectoriel normé E ≠ {O}, on pose P = E x E et Q = ℝ x E,

et on munit P = E X E de l’une des 3 normes usuelles équivalentes : || ||∑,||√, || || ||∞
a) Vérifier que || x ||∞ ≤||x||√ ≤||x ||∑ ≤ √₂ ||x ||√ ≤ 2 || x ||∞ pour tout x= (x₁,x₂) ∈ P.

Aperçu :

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