Analyse Hilbertienne et de Fourier Examens / Partiels

Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Noyau de Fejer – Théorème de Weierstrass

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Thèmes :

Questions de cours: Théorème de Weierstrass / Théorème de convergence normal
Exercice 1: Noyau de Fejer / Fonction périodique / Fonction continue
Exercice 2: Polynôme trigonométrique
Exercice 3: Noyau de Jackson / Continue par morceaux / Fonction périodique / Intégrale / Majoration
Exercice 4: Fonction de Weierstrass / Fonction non dérivable / Prolongement par continuité

Extrait :

Question de cours
Énoncer le premier théorème de Weierstrass.
Énoncer le théorème de convergence normale.

Problème
On désigne par D l’espace vectoriel des fonctions f continues par morceaux sur R, 2 pi périodiques à valeurs dans C vérifiant, pour tou t appartenant à R, f(t)=(f(t^+)+f(t^-))/t
On munit D de la norme définit ci dessous.
Si f est une fonction 2 pi périodique et continue par morceaux, on désigne par f^(k) son k-ième coefficient de Fourier exponentiel.
I Le noyau de Fejer
Pour chaque entier, n appartenant à N, on définit une fonction K_n:R -> C.
La fonction K_n est 2pi périodique et continue.
1) Vérifier que la fonction K_n est paire et que K_n(0)n+1

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