Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Adjoint - Coefficients de Fourier

Thèmes :

Exercice 1: Convergence normale / Somme d’une série / Fonction continue par morceaux / Fonction périodique / Continuité / Coefficients de Fourier
Exercice 2: Espace de Hilbert / Dual topologique / Forme linéaire continue / Sous espace vectoriel fermé complet / Projecteur orthogonal / Norme / Noyau / Orthogonal
Exercice 3: Espace de Hilbert / Espace des endomorphisme continus / Norme / Adjoint / Partie fermée / Image / Noyau / Somme directe

Extrait :

Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Adjoint – Coefficients de Fourier

L3 MATHS-INFO 2006-2007

EXAMEN ANALYSE HILBERTIENNE
Le 7 Juin 2007
Durée : 3h
Documents et calculatrice non autorisés

Exercice 1. Suit a ∈] — 1, 1[ et soit g :ℝ —> ℝ la fonction déﬁnie par

1. Prouver que, pour tout x ∈ ℝ, on a $g(x)=\sum _{ n=0 }^{ +\infty }{ { a }^{ n } } cosnx$ Indication. On pourra calculer
la somme de la série $\underset { n\ge 0 }{ \sum { { a }^{ n } } cosnx }$

2. Montrer que cette série converge normalement sur ℝ.

3. Soii: f : ℝ —> ℂ continue par morceaux et $2\pi$ -périodique et soit h : ℝ —> ℝ la fonction
déﬁnie par

$h(x)=\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ g(x-t)f(t)dt }$

Montrer que, pour tout x ∈ ℝ,
$h(x)=\sum _{ n=0 }^{ +\infty }{ \pi { a }^{ n } } ({ a }_{ n }(f))cosnx+{ b }_{ n }(f)sinnx)$
En déduire que h et continue sur ℝ et déterminer ses coefficients de Fourier.

4. Suit λ ∈ ℝ tel que 2λ $\pi$ ≠ 1. Trouver toutes les fonctions f : ℝ —> ℂ continues par
morceaux et $2\pi$ —périodiques telles que, pour tout x ∈ ℝ, on ait
$f(x)=\lambda \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ g(x-t)f(t)dt+\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ \frac { cosnx }{ { n }^{ 2 } } } }$
Exercice 2. Soit H un espace de Hilbert téel et soit H’ le dual topologique de H i.e. l’espace
des formes linéaires continues sur H . Soit u ∈ H‘

1. Montrer que Ker u est un sous-espace vectoriel fermé complet de H.
2. En déduire qu’il existe in: projecteur orthogonal p sur Ker u
3. Suit a ∈ H\Keru. Montrer que d(a,Keru) > 0. On pose $b=\frac { a-p(a) }{ d(a,Keru) }$ . Calculer la norme de b et montrer que b ∈ $(Keru{ ) }^{ \bot }$
4. Montrer que, pour tout x ∈ H,
$x-\frac { u(x) }{ u(b) } b\epsilon Keru$
5. On pose y = u(b)b. Conclure que, pour tout x ∈ H,

u(x)=(x|y)

Indication. On pourra écrire x = x₁ + x₂ avec x₁ ∈ Keru et x₂ ∈ $(Keru{ ) }^{ \bot }$ , puis calculer (x|y).
Exercise 3. soit H un espace dc Hilbert. On note ${ \L }_{ c }(H)$ l’espace des endomorphismes continus
de H. Pour tout. T ∈ ${ \L }_{ c }(H)$ , on pose
$|||T|||=\underset { ||x||=1 }{ sup } ||T(x)||$
On rappelle que ||.|| est une norme sur ${ \L }_{ c }(H)$ et que, pour tout T,S ∈ ${ \L }_{ c }(H)$ , on a
|||TοS|||≤ |||T||||||S|||

On rappelle aussi le théorème suivant
Théorème. Soit T un endomorphisme continu de H. il existe un unique endomorphisme continu,
noté T*, tel que, pour tout x,y ∈ H, on ai

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