Examens / Partiels Suites et Séries de Fonctions

Partiel Suites et Séries de Fonctions | Continuité – Convergence normale

Thèmes :

Exercice 1: Suite / Convergence simple / Convergence uniforme / Suite de fonction
Exercice 2: Convergence normale / Convergence simple / Continuité / Limites
Exercice 3: Convergence simple / Reste / Série de fonction / Convergence uniforme / Continuité / Fonction somme / Intégrale

Extrait :

Partiel Suites et Séries de Fonctions | Continuité – Convergence normale

Exercice 1.
On considére clans cet exercice la suite de fonctions ({ f }_{ n }) définies sur ℝ par { f }_{ n }(x)={ n }^{ 2 }{ e }^{ -nx }

1/ Etudier la convergence. simple de cette suite de fonctions.
2/ Etudier la fonction ({ f }_{ n }), et en déduire que la suite de fonctions converge uniformément sur ℝ₊ si et seulement si a 0 et x≥1, on pose { u }_{ n }(x)=\frac { 1 }{ { n }^{ x } }

1/ Pour quelles valeur de x la série de terme général { u }_{ n }(x) est-elle convergente ?
En déduire le domaine de convergence simple de la série
2,’ On note, pour tout x>1, \zeta (x)=\underset { n\ge 1 }{ \sum { { u }_{ n } } (x) }
a/ Montrer que la série de fonctions converge normalement vers \zeta sur tout intervale
de la forme [a, +∞[ pour a > 1, et en déduire que la fonction \zeta est continue sur ]1, +∞[

b/ .Montrer que la fonction \zeta est de classe sur ]1,+∞[. Quelle est sa limite en +∞?

Exercice 3

On considère la série de fonctions de terme général { u }_{ n }(x)=(-1{ ) }^{ n\frac { { e }^{ -nx } }{ n } }

1/ Etudier la convergence simple de la série de fonctions \underset { n\ge 1 }{ \sum { { u }_{ n } } }

2/ En majorant 1e reste { R }_{ n }(x)=\sum _{ k=n+1 }^{ +\infty }{ { u }_{ k } } (x), montrer que la série de fonctions
\underset { n\ge 1 }{ \sum { { u }_{ n } } } latex converge uniformément sur [O,+∞[, et en déduire que la fonction \underset { n\ge 1 }{ \sum { { u }_{ n } } } (x) est continue sur [0, +∞[
3/ Etudier la convergence simple de la série de fonctions \underset { n\ge 1 }{ \sum { { u }_{ n }^{ ' } } }
Somme. Montrer que cette série converge uniformément vers T sur tout intervalle
de la forme [a,+∞[, a > 0, puis que pour tout x > 0 on a T(x)=\frac { { e }^{ -x } }{ 1+{ e }^{ -x } }
4/ Montrer que pour tout x > 0 on a. |S(x)|≤ { e }^{ -x }, en déduire la limite de S en +∞;
En déduire que pour tout x ≥ 0, on a.
S(x)=-\int _{ x }^{ +\infty }{ T(t) } dt,
et calculer S(x). En déduire les sommes des séries \underset { n\ge 1 }{ \sum { \frac { (-1{ ) }^{ n } }{ n } } } et \underset { n\ge 1 }{ \sum { \frac { (-1{ ) }^{ n }{ e }^{ -n } }{ n } } }

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