Suites et Séries de Fonctions

Exercices Analyse – Limites de suites et de fonctions + Correction | Convergence – Fonction à deux variables

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Thèmes :

Partie 1 – ( 5 exercices ): Suite / Convergence des suites / Limites / Fonction à deux variables / Fonction à trois variables

Extrait :

Exercices Analyse – Limites de suites et de fonctions + Correction | Convergence – Fonction à deux variables

Exercice 1
Pour chacune des suites ({ U }_{ n }{ ) }_{ n } dans le plan { ℝ }^{ 2 } ci-dessous, placer quelques-uns des points un dans le plan et
décrire qualitativement le comportement de la suite lorsque n tend vers l’infini. Étudier ensuite la convergence
de chacune des suites et déterminer la limite le cas échéant.
1. { U }_{ n }=(\frac { 4{ n }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 }+4n+3 } ,cos\frac { 1 }{ n } )
2. { U }_{ n }=(\frac { { n }^{ 2 }arctann }{ { n }^{ 2 }+1 } ,sin(\frac { \pi }{ 4 } exp(-\frac { 1 }{ n } )))
3. { U }_{ n }=(sin{ h }_{ n },\frac { lnn }{ n } )
4. { U }_{ n }=({ a }^{ n }cos(n\alpha ),{ a }^{ n }sin(n\alpha )), en fonction de , a > 0 et .
Indication H
Exercice 2
Étudier l’existence des limites suivantes :
1. \lim _{ x+y\neq 0 }{ (x,y)\longrightarrow (0,0) } \frac { { x }^{ 2 }y }{ x+y }
2. \lim _{ 2{ x }^{ 3 }+y{ z }^{ 2 }\neq 0 }{ (x,y,z)\longrightarrow (0,0,0)\frac { xyz+{ z }^{ 3 } }{ 2{ x }^{ 3 }+y{ z }^{ 2 } } }
3. \lim _{ (x,y)\neq (0,0) }{ (x,y)\longrightarrow (0,0)\frac { |x|+|y| }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } }
4. \lim _{ x\neq \pm y }{ (x,y)\longrightarrow (0,0)\frac { { x }^{ 4 }y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } }
5.\lim _{ (x,y,z)\neq (0,0,0) }{ (x,y,z)\longrightarrow (0,0,0)\frac { { x }^{ 4 }y }{ { x }^{ 2 }+{ 2y }^{ 2 }+3{ z }^{ 2 } } }
Indication H
Exercice 3
Soit f : la fonction définie par
f (x,y) = \frac { { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }+(x,y{ ) }^{ 2 } }
Montrer que
\lim _{ x\longrightarrow 0 }{ \lim _{ y\longrightarrow 0 }{ f(x,y)=\lim _{ y\longrightarrow 0 }{ \lim _{ x\longrightarrow 0 }{ f(x,y)=0 } } } }
et que lim(x,y)\longrightarrow (0,0)f(x,y) n’existe pas.
Indication H
Exercice 4
Déterminer les limites lorsqu’elles existent :
1. lim(x,y)\longrightarrow (0,0)\frac { x }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }
2. lim(x,y)\longrightarrow (0,0)\frac { (x+2y{ ) }^{ 3 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }
3. lim(x,y)\longrightarrow (1,0)\frac { log(x+{ e }^{ y }{ ) }^{ 3 } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } }
4. lim(x,y)\longrightarrow (0,0)\frac { { x }^{ 4 }+{ y }^{ 3 }-xy }{ { x }^{ 4 }+{ y }^{ 2 } }
5. lim(x,y)\longrightarrow (0,0)\frac { { x }^{ 3 }y }{ { x }^{ 4 }+{ y }^{ 4 } }
6. lim(x,y)\longrightarrow (0,0)\frac { (x^{ 2 }+{ y }^{ 2 }{ ) }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }
7. lim(x,y)\longrightarrow (0,0)\frac { 1-cosxy }{ { y }^{ 2 } }
8. lim(x,y)\longrightarrow (0,0)\frac { sinx }{ cosy-coshx }
Indication H
Exercice 5
Pour chacune des fonctions f suivantes, étudier l’existence d’une limite en (0,0,0)
1. f (x,y,z) = \frac { xyz }{ x+y+z };
2. f (x;y; z) = \frac { x+z }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } }
Indication H
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Indication pour l’exercice 1 N
Pour établir ou réfuter l’existences d’une limite particulière dans le plan et pour ensuite déterminer une limite
pourvu qu’elle existe, utiliser le fait que pour que { lim }_{ n\longrightarrow \infty }({ x }_{ n },{ y }_{ n }) existe dans le plan il faut et il suffit que
chacune des limites { lim }_{ n\longrightarrow \infty }{ x }_{ n } et { lim }_{ n\longrightarrow \infty }{ y }_{ n } existe en tant que limite finie.
Indication pour l’exercice 2 N
1. Raisonner à l’aide d’une fonction f de la variable …

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des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
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