Examen Calcul Matriciel + Correction | Décomposition LU - Méthode de Gauss

Thèmes :

Exercice 1: Méthode de Gauss
Exercice 2: Décomposition LU
Exercice 3: Factorisation LU

Extrait :

Examen Calcul Matriciel + Correction | Décomposition LU – Méthode de Gauss

Exercice 1
Résoudre la méthode de GAUSS le système linéaire suivant:
$\begin{cases} 342\quad { u }_{ 1 }\quad +\quad 259\quad { u }_{ 2 }\quad +\quad 357\quad { u }_{ 3 }\quad =\quad 716 \\ 161\quad { u }_{ 1 }\quad +\quad 129\quad { u }_{ 2 }\quad +\quad 181\quad { u }_{ 3 }\quad =\quad 359 \\ 647\quad { u }_{ 1 }\quad +\quad 519\quad { u }_{ 2 }\quad +\quad 715\quad { u }_{ 3 }\quad =\quad 188 \end{cases}$

Exercice 2
Effectué la factorisation LU des matrices
$A=\left( \begin{matrix} 2 & -1 & 4 & 0 \\ 4 & -1 & 5 & 1 \\ -2 & 2 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -9 & 4 \end{matrix} \right)$ et $B=\left( \begin{matrix} 3 & -2 & 6 & -5 \\ 24 & -12 & 41 & -39 \\ -27 & 18 & -62 & 45 \\ 9 & 14 & 15 & 47 \end{matrix} \right)$

Exercice 3
Montrer que la factorisation LU préserve la structure des matrices-bandes au sens suivant (en posant $A=({ a }_{ i,j }{ ) }_{ 1\le i,j\le n }$ , $L=({ l }_{ i,j }{ ) }_{ 1\le i,j\le n }$ , $U=({ u }_{ i,j }{ ) }_{ 1\le i,j\le n }$ , si pour un p ∈ {1,…,n-1}, ${ a }_{ i,j }=0$ |i-j| ≥ p alors ${ \L }_{ i,j }=0$ pour i-j ≥ p et ${ u }_{ i,j }=0$ pour j-i ≥ p