Algèbre Examens / Partiels

Examen Algèbre | Base – Combinaison linéaire

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Thèmes :

Exercice 1: Rang / Matrice / Pivots / Dimension / Transposée / Combinaison linéaire / Espace vectoriel
Exercice 2: Sous espace vectoriel / Rang / Dimension / Base / Somme directe / Vecteur

Extrait :

Examen Algèbre | Base – Combinaison linéaire

Exercice 1. Soient m, n entiers naturels.

1) Quelles sont (en fonction de m, n) les valeurs possibles r du rang d’une matrice à m lignes et
n colonnes ? Pour chacune de ces valeurs r, donner (sans fixer m, n) un exemple simple d’une
matrice A ∈ Mm,n de rang r.
2) Soit R ∈ Mm,n une matrice échelonnée réduite, de rang r (i.e. comportant r pivots), de
colonnes, de lignes
a) Quelle est la dimension de Vect( { C }_{ 1 },...{ C }_{ n }) ?
b) Démontrer, par ailleurs, que la dimension de Vect( { L }_{ 1 },...{ L }_{ m }) est r.
c) En déduire le rang de la matrice transposée { R }^{ t } ∈ Mn,m (dont les m colonnes sont les éléments { L }_{ 1 },...{ L }_{ m } de Rn)
3) Soient A ∈Mm,n et B = { A }^{ t }A ∈Mn,m.
a) Montrer que l’ensemble des combinaisons linéaires des m colonnes de B est égal à. En déduire que pour tout H ∈ GLm, les sous-espaces de engendrés respectivement par les colonnes de B et par celles de BH sont égaux.
b) En déduire que rang(A) = rang( {A}^{t}).
Indication : soit G ∈ GLm telle que GA soit échelonnée réduite, poser R = GA,H = {G}^{t}, et utiliser que (GA{ ) }^{ t }={ A }^{ t }{ G }^{ t }
4) En déduire que le rang de A est égal à la dimension de l’espace vectoriel engendré par ses lignes.

Exercice 2.

Soient A,B ∈ les colonnes de celles de B,F=Vect({ C }_{ 1 },...,{ C }_{ n }) et G=Vect({ C }_{ 1 }^{ ' },...,{ C }_{ n }^{ ' }) les deux sous-espaces vectoriels de E correspondants,{ r }_{ A },{ r }_{ B },{ r }_{ C } les rangs des matrices A,B,C.
1) Démontrer que la dimension de F + G est ´egale `a { r }_{ C }.
Désormais,
A=(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 5 & 6 & 1 \\ 7 & 8 & 1 \end{matrix})
, B=(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ 4 & 0 & 2 \end{matrix})
2)
a) Extraire de { (C }_{ 1 },{ C }_{ 2 },{ C }_{ 3 }) une base de F et en d´eduire {r}_{A}.
b) Calculer de même {r}_{B}.
c) Calculer de même{r}_{C}.
d) En déduire la dimension de F⋂G.
e) La somme F + G est-elle directe ?
3) Vérifier que le vecteur
(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})
appartient à F⋂G, puis expliciter F⋂G (en utilisant sa dimension).

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