Algèbre Examens / Partiels

Examen Algèbre | Base – Combinaison linéaire

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

privacy Je déteste les spams : je ne donnerai jamais votre email.

Thèmes :

Exercice 1: Rang / Matrice / Pivots / Dimension / Transposée / Combinaison linéaire / Espace vectoriel
Exercice 2: Sous espace vectoriel / Rang / Dimension / Base / Somme directe / Vecteur

Extrait :

Examen Algèbre | Base – Combinaison linéaire

Exercice 1. Soient m, n entiers naturels.
1) Quelles sont (en fonction de m, n) les valeurs possibles r du rang d’une matrice `a m lignes et
n colonnes ? Pour chacune de ces valeurs r, donner (sans fixer m, n) un exemple simple d’une
matrice A ∈ Mm,n de rang r.
2) Soit R ∈ Mm,n une matrice ´echelonn´ee r´eduite, de rang r (i.e. comportant r pivots), de
colonnes, de lignes
a) Quelle est la dimension de Vect( { C }_{ 1 },...{ C }_{ n }) ?
b) D´emontrer, par ailleurs, que la dimension de Vect( { L }_{ 1 },...{ L }_{ m }) est r.
c) En d´eduire le rang de la matrice transpos´ee { R }^{ t } ∈ Mn,m (dont les m colonnes sont les
´el´ements { L }_{ 1 },...{ L }_{ m } de Rn)
3) Soient A ∈Mm,n et B = { A }^{ t }A ∈Mn,m.
a) Montrer que l’ensemble des combinaisons lin´eaires des m colonnes de B est ´egal `a. En d´eduire que pour tout H ∈ GLm, les sous-espaces de engendr
´es respectivement par les colonnes de B et par celles de BH sont ´egaux.
b) En d´eduire que rang(A) = rang( {A}^{t}).
Indication : soit G ∈ GLm telle que GA soit ´echelonn´ee r´eduite, poser R = GA,H = {G}^{t},
et utiliser que (GA{ ) }^{ t }={ A }^{ t }{ G }^{ t } et que
4) En d´eduire que le rang de A est ´egal `a la dimension de l’espace vectoriel engendr´e par ses
lignes.
Exercice 2. Soient A,B ∈
les colonnes de celles de B,F=Vect({ C }_{ 1 },...,{ C }_{ n }) et G=Vect({ C }_{ 1 }^{ ' },...,{ C }_{ n }^{ ' }) les
deux sous-espaces vectoriels de E correspondants,{ r }_{ A },{ r }_{ B },{ r }_{ C } les rangs des matrices A,B,C.
1) D´emontrer que la dimension de F + G est ´egale `a { r }_{ C }.
D´esormais,
A=(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 5 & 6 & 1 \\ 7 & 8 & 1 \end{matrix})
, B=(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ 4 & 0 & 2 \end{matrix})
2)
a) Extraire de { (C }_{ 1 },{ C }_{ 2 },{ C }_{ 3 }) une base de F et en d´eduire {r}_{A}.
b) Calculer de mˆeme {r}_{B}.
c) Calculer de mˆeme{r}_{C}.
d) En d´eduire la dimension de F⋂G.
e) La somme F + G est-elle directe ?
3) V´erifier que le vecteur
(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})
appartient `a F⋂G, puis expliciter F⋂G (en utilisant sa dimension).

Aperçu :

Téléchargement :

feuille

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

privacy Je déteste les spams : je ne donnerai jamais votre email.

Laisser un commentaire