Examen Algèbre Linéaire – 2006 – N°1 – Niveau L2

Thèmes :

Exercice 1: Théorème de Fermat
Exercice 2: Matrices / Base canonique
Exercice 3: Groupe commutatif / Transformation géométrique
Exercice 4: Espace vectoriel / Endomorphisme / Projecteur / Image / Noyau /
Exercice 5: Déterminant / Puissance d’une matrice
Exercice 6: Théorème de Wilson

Extrait :

I) Énoncer le théorème de Fermat.
2) Étudier la divisibilité de 2^70+3^70 par 13

II) Déterminer les matrices, sur la base canonique du plan vectoriel P=R^2 de l’application identité et de la symétrie par rapport à l’origine, à l’axe horizontal, à l’axe vertical

III) 1) Montrer que, si un groupe G, d’élément neutre e, vérifie, pour tous g appartenant à G, g x g=e alors il est commutatif.
2) Expliciter un groupe T de quatre transformations géométriques du plan vectoriel P, vérifiant pour tout f appartenant à T, f o f= ID.

IV) Un projecteur de l’espace vectoriel E est un endomorphisme p de E tel que p o p=p
Montrer que:
1) p est un projecteur si et seulement si, Id-p est un projecteur

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