Equations Différentielles Examens / Partiels

Examen Equations Différentielles | Col – Courbe

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Thèmes :

Exercice 1: Système différentiel / Équation
Exercice 2: Système différentiel / Valeurs propres / Vecteurs propres / Solution générale / Courbe
Exercice 3: Système différentiel / Voisinage / Solution / Système autonome / Point singulier / Point stationnaire / Col / Foyer / Noeud non dégénéré

Extrait :

Examen Equations Différentielles | Col – Courbe

1. NB: DUREE DE L’EPREUVE: 1 HEURES 30’.
PAS DE DOCUMENT. PAS DE CALCULATRICE
PROBLEME

1- On considère le système différentiel aux fonctions inconnues x(t), y(t) : ℝ —-> ℝ,
S₁:{x’ = 2x,y’ = —y}.
a) Résoudre ce systiame. –
b) Montrer que la courbe associée à une solution de S₁: (x(t),y(t)), quand t varie,
a une équation cartésienne d‘une des 5 formes suivantes: {x = \frac { a }{ { y }^{ 2 } } > 0},

x = \frac { a }{ { y }^{ 2 } } < 0}},{x = 0},{y = 0}, {x = y = 0} où a est une constante arbitraire de ℝ* c) Dessiner sur une même figure plusieurs de ces solutions. II- On considère le système différentiel aux fonctions inconnues x(t),y(t) : ℝ —> ℝ,
S₂ : {x’ = —2x+2y,y’ = -2x +3y}.

1) Trouver les valeurs propres λ,μ et des vecteurs propres associés \xrightarrow { { u }_{ \lambda } }, \xrightarrow { { u }_{ \mu } } de la
matrice associée à S₂.

b) Montrer que la solution générale de S₂ est : \left( \begin{matrix} x(t) \\ y(t) \end{matrix} \right) ={ \alpha e }^{ 2t }\vec { { u }_{ \lambda } } +{ \beta e }^{ -t }\vec { { u }_{ \mu } }
sont des constantes réelles arbitraires.

c) Dire pourquoi les courbes associée aux solutions de S₂: (x(t), y(t)), quand t varie,ont mêmes allures que les courbes obtenues au I.

III— On considère le système différentiel aux fonctions inconnues x(t),y(t) : I —> ℝ
S₃ : {x’ = -sin(x) + 1 — { e }^{ x } + 2ln(1 +y),y’ = \frac { 1 }{ 2x-1 } +{ e }^{ 3y } }.

a) Soient a, b ∈ ℝ; à quelles conditions existe—t-il un voisinage I de 0 et une solution
de S₃, définie pour t ∈ I, telle que x(0) = a,y(0) = b ?

d) S₃ est il un système autonome ?

c)Donner la définition d’un point singulier ou stationnaire.

d) Montrer que (0,0) est un point stationnaire.

e) Linéariser le système S₃ autour de (0,0).

f) (0,0) est il un col, un foyer, un nœud non dégénéré ou rien de tout cela, pour le système S₃ ?

( Une réponse non justifiée sera considérée comme nulle).

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