Analyse Complexe

Examen Analyse Complexe | Fonction holo – Intégrale

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Thèmes :

Exercice 1: Rayon de convergence
Exercice 2: Série de Laurent
Exercice 3: Singularités / Résidus
Exercice 4: Intégrale
Exercice 5: Série de Taylor
Exercice 6: Cercle / Théorème de Rouché / Racine
Exercice 7: Fonction holomorphe

Extrait :

Examen Analyse Complexe | Fonction holo – Intégrale

Toute question demande en réponse non seulement un résultat mais surtout une démonstration. Le
barême n’est donné qu’à titre indicatif.
1. Déterminer les (3 pts) rayons de convergence
(a) \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ (-1{ ) }^{ n } } { e }^{ { -n }^{ 2 } }{ z }^{ 7n }
(b) et de
\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ ({ 9 }^{ 3n } } +{ 4 }^{ 5n }){ z }^{ 2n } Pour cela on commencera par se demander qui de 93 ou de
45 est le plus grand ! (et on les mettra sous la forme de carrés).
2. Soit f(z)=\frac { 1 }{ z } +\frac { 1 }{ z+1 } +\frac { 1 }{ z+2 }
(4 pts) . Déterminer les développements de f en série de Laurent :
(a) pour 0 < |z| < 1, (b) pour 1 < |z| < 2, (c) et pour |z| > 2.
Soit C le cercle de centre \frac { -3 }{ 2 }
et de rayon 1. Que vaut ?
3. Déterminer les singularités et les résidus dans C de f(z)=\frac { 1 }{ ({ z }^{ 2 }-2z+2)({ z }^{ 2 }+1) }
(4 pts) . Puis
trouver la valeur de \int _{ -\infty }^{ \infty }{ \frac { dx }{ ({ x }^{ 2 }-2x+2)({ x }^{ 2 }+1) } }
4. Que vaut \int _{ -\infty }^{ \infty }{ \frac { { e }^{ i\pi x } }{ { x }^{ 2 }-2x+2 } } dx ? (attention, dans l’exercice précédent il y avait ## { x }^{ 2 }-2x+2$,
ici cela a changé, c’est { x }^{ 2 }-2x+2).
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5. Soit
\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { C }_{ k }{ h }^{ k } } la série de Taylor de
\frac { 1 }{ (2i+h{ ) }^{ 5 } } en zéro. Trouver ce (3 pts) que valent { c }_{ 0 },{ c }_{ 1 },{ c }_{ 2 },{ c }_{ 3 }\quad et\quad { c }_{ 4 } Puis, déterminer la valeur de A=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ \frac { dx }{ (1+{ x }^{ 2 }{ ) }^{ 5 } } }
6. Soit P(z)={ z }^{ 5 }+{ z }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 14 }
(3 pts) .
points négatifs si
non-réponse ou
réponse fausse! 1. établir
2. Soit C le cercle de centre zéro et de rayon \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }
. Montrer |{ z }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 14 } |\ge \frac { 10 }{ 56 } >|{ z }^{ 5 }| pour
z ∈ C. En déduire en invoquant le théorème de Rouché (et en examinant P′) que P
a exactement quatre racines distinctes vérifiant $latex |z|<\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }$ (et aucune sur C). 3. Soit Z l’unique racine de P avec . En invoquant à nouveau le théorème de Rouché d’une manière appropriée établir $latex |Z|>1+\frac { 1 }{ 14 }$
. On aura montré (1+\frac { 1 }{ 14 } { ) }^{ 5 }>(1+\frac { 1 }{ 14 } { ) }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 14 }
(3 pts) 7. Soit H=\{ z|Im(z)>0\} et \overline { H } =\{ z|Im(z)\ge 0\}. Soit f une fonction continue sur \overline { H },
qui est de plus holomorphe sur \overline { H }. On suppose |f|\le 1000 sur \overline { H } et |f|\le 1 sur ℝ.
Montrer : |f|\le 1 sur \overline { H }
Indication : considérer les fonctions g(z)=\frac { f(z) }{ \epsilon z+i }
pour \epsilon > 0.
Université Lille 1 Examen du 16 janvier 2007
Université Lille 1 — …

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