Examen Analyse Complexe | Arc de cercle - Fonction analytique

Thèmes :

Exercice 1: Fonction analytique
Exercice 2: Fonction holomorphe
Exercice 3: Lemme de Jordan / Arc de cercle / Intégrale / Pôles / Lacet

Extrait :

Examen Analyse Complexe | Arc de cercle – Fonction analytique

Exercice 1. Déterminer une fonction analytique déﬁnie sur
U = ℂ – {(x,0) : x ≤ – 1 ou x ≥ 1}

et telle que f(0) = i et, pour tout z ∈ U, f(z)² = z² -1.

Exercice 2 Déterminer si la fonction suivante

f: z = x + iy $\mapsto$ x² + 2x – 1 + i(2xy + 2y)
est holomorphe sur ℂ

Exercice 3

A) (Lemme de Jordan) Soit ℂ un arc de cercle de centre O de rayon R et d’angle α
Soit f une fonction continue déﬁnie pour |z|>r telle que $\lim _{ R\rightarrow \infty }{ zf(z) }$

Montrer que : $\lim _{ R\rightarrow \infty }{ \int _{ C }{ f(z) } }$ = 0

B) On se propose de calculer l’intégrale $I(\alpha )=\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ \alpha } } }$ dx

A quelle condition sur α l’intégrale existe-t-elle ?

Montrer que pour α = p/q, on a $I\left( \frac { p }{ q } \right) =\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { { t }^{ q-1 } }{ 1+{ t }^{ q } } }$ dt
Quels sont les pôles de $f(z)=\frac { { z }^{ q-1 } }{ 1+{ z }^{ p } }$

Soit A le point d’affixe R > 1 et B celui d’affixe ${ { R }_{ e } }^{ \frac { 2i\pi }{ p } }$ . On considère le lacet « OABO »
Calculer $J=\int _{ c }{ f(z) }$ dz
Calculer I(α) à l’aide du lemme de Jordan.

Calculer I(α) dans le cas où α n’est pas rationnel

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